(3)圆杆扭转时横截面上的最大切应力发生在外表面处
式中Wt=Ip/R，称为圆杆抗扭截面系数（或抗抟截面模量）。
圆杆扭转时的强度条件
(4)圆杆扭转时，圆杆各点处于“纯剪切”应力状态，如图3—1所示。其最大拉应力、最大压应力和最大切应力数值相等。
低碳钢材料抗拉与抗压的屈服强度相等，抗剪能力较差，所以低碳钢材料圆杆扭转破坏是沿横截面被剪断的。
答： =
13、一薄壁钢管受扭矩Me=2kN．m作用。己知D=60mm，d=50mm，E=210GPa。己测得管表面上相距l=200mm的AB两截面的相对扭转角 =0.430，试求材料的泊松比。
答：μ=0.3
14、一联轴器，由分别分布在半径为R1和R2圆周上的8只直径相同的螺栓相联接（如图所示）。则内圈（R1）螺栓横截面上的切应力 与外圈（R2）螺栓截面上的切应力 的比值为（）。
(8) 矩形截面杆自由扭转时，横截面上的剪应力呈线性分布。（错）
3、选择题
（1）阶梯圆轴的最大切应力发生在（D）。
A 扭矩最大的截面； B 直径最小的截面
C 单位长度扭转角最大的截面 D 不能确定
（2）空心圆轴的外径为D，内径为d， =d /D。其抗扭截面系数为（D）。
A B
C C
（3）扭转切应力公式 适用于（D）杆件。
在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线、方向到共同指向或共同背离积这一交线，这就是切应力互等定理。
5、切应变剪切虎克定律
对于纯剪切的单元体，其变形是相对两侧面发生的微小错动，以γ来度量错动变形程度，即称切应变。
当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力τ和切应变γ成正比，即
第三部分扭转
4.1预备知识
一、基本概念
1、扭转变形
扭转变形是杆件的基本变形之一，扭转变形的受力特点是：杆件受力偶系的作用，这些力偶的作用面都垂直于杆轴。此时，截面B相对于截面A转了一个角度 ，称为扭转角。同时，杆件表面的纵向直线也转了一个角度 变为螺旋线， 称为剪切角。
2、外力偶
杆件所受外力偶的大小一般不是直接给出时，应经过适当的换算。若己知轴传递的功率P(kW)和转速n(r/min)，则轴所受的外力偶矩 。
A） ；（B） ；（C） ；（D）
15、 试作图4—32所示各轴的扭矩图，并求出 及其作用处。
16、 齿轮轴上有四个齿轮,见图4—33,己算出各轮所受外力偶矩为mA=52N•m、mB=120N·m、mC=40N·m、mD=28N·m.己知各段轴的直径分别为dAB=15mm、dBC=20mm、dCD=12mm。
11、图示某带轮传动轴，己知：P=14kW，n=300r/min， =40MPa， =0.01rad/min，G=80GPa。试根据强度和刚度条件计算两种截面的直径：（1）实心圆截面的直径d；（2）空心圆截面的内径d1和外径d2（d1/d2=3/4）
答：d≥49mm，d2≥53.7mm
12、图示一圆截面杆，左端固定，右端自由，在全长范围内受均布力偶矩作用，其集度为me。设杆的材料的切变模量为G，截面的极惯性矩为Ip，杆长为l。试求自由端的扭转角 。
d=31mm
二、计算题
一为实心、一为空心的两根圆轴，材料、长度和所受外力偶均一样，实心直径d1，空心轴外径D2、内径d2，内外径之比α=d2/D2=0.8。若两轴重量一样，试求两轴最大相对扭转角之比。
解：两轴材料、重量和长度一样，则截面积也一样A1=A2，即
可得
因承受的外力偶矩相同，两轴截面上扭矩也应相等T1=T2。
答：
10、图示一传动轴，主动轮I传递力偶矩1kN．m，从动轮Ⅱ传递力偶0.4kN．m，从动轮Ⅲ传递力偶矩0.6kN．m.。己知轴的直径d=40mm，各轮间距l=500mm，材料的切变模量G=80GPa。要求（1）合理布置各轮的位置；（2）求出轴在合理位置时的最大切应力 和最大扭转角 。
答： =47.8MPa, =0.015rad
(2)矩形截面杆
矩形截面杆扭转时，由切应力互等定理可知，横截面周边上的切应力和周边相切，角点处切应力为零。横截面上最大切应力发生在长边的中点处。
设矩形截面杆长为l，承受扭矩T，矩形截面的长为h，宽为b。
最大切应力
杆两端的相时扭转角
式中α，β是与长宽比h/b相关的系数，计算时可查阅有关手册。
当长宽比 时，称为狭长矩形，α，β可近似为1/3。
A 任意截面； B 任意实心截面；
C 任意材料的圆截面 D 线弹性材料的圆截面。
（4）单位长度扭转角 与（A）无关。
A 杆的长度； B 扭矩
C 材料性质； D 截面几何性质。
（5）图示圆轴由钢杆和铝套管牢固地结合在一起。扭转变形时，横截面上切应力分布如图（B）所示。
（6）若将受扭实心圆轴的直径增加一圆轴扭转时，截面上的内力矩称为扭矩，用T表示。扭矩的正负号，按右手螺旋法则判定。如扭矩矢量与截面外向法线一致，为正扭矩，反之为负；求扭矩时仍采用截面法。扭矩图是扭矩沿轴线变化图形，与轴力图的画法是相似
4、纯剪切切应力互等定理
单元体的左右两个侧面上只有切应力而无正应力，此种单元体发生的变形称为纯剪切。
A 2倍 B 4倍
C 8倍 D 16倍
(7) 空心圆轴，其内外径之比为 ，扭转时轴内的最大剪应力为 ，这时横截面上内边缘的剪应力为（ B ）。
Ａ Ｂ
Ｃ 零 Ｄ
(8) 实心圆轴扭转，己知不发生屈服的极限扭矩为T0，若将其横截面积增加１倍，那么极限扭矩是（ C ）。
Ａ Ｂ
Ｃ Ｄ
(9) 对于受扭的圆轴，关于如下结论：
答：τmax=100MPa
3、设将例题4—2中直径d=0.０６m的实心圆轴制成外径Ｄ与内径d之比为３／２的空心圆轴，仍受力偶矩Ｍe＝２.５kN．m的作用。试求：使τmax与该例题相同时，能节省多少材料？
答：D＝0.065m
4、图示一圆锥形杆AB，受力偶矩Me作用，杆长为l，两端截面的直径分别为d1和d2=1.2d1，材料的切变模量为G。试求：（1）截面A和B的扭转角 ，（2）若按平均直径的等直杆计算扭转角，误差等于多少？
一、计算题
等截面传动轴的转速n=150r/min，由A转输入功率NA=8kW，由B、C、D各轮输出功率分别为NB=3kW，NC=1kW，ND=4kW。己知轴的许用剪应力[τ]=60MPa，剪切弹性模量G=80GPa，[θ]=20/m。要求首先安排各轮的位置，然后绘出传动轴的扭矩图，并确定轴的直径。
解：四轮各位置如图，其中A轮应放在轴的中间位置，使得从A轮输入的扭矩由该轮的两侧分担，不会使轴的某段承担输入的全部扭矩。根据功率转化为扭矩关系，A、B、C、D各点的扭矩
己知各轮承担的扭矩后，由截面法可得各截面的扭矩，扭矩图如图。从扭矩图可知，最大扭矩应在DA、AB段，为
最大剪应力为
强度条件为
得到
(1)
由于轴为等截面的，最大单位长度的扭转角也应在DA、AB段，等圆截面杆的单位长度的扭转角
刚度条件为
得
(2)
从式(1)和式(2)中选择较大的作为轴的直径，可同时满足刚度和强度条件，轴的直径
答：d=85mm
8、钻探机钻杆的外径D=60mm，内径d=50mm，切率P=7.355kW,轴的转速n=180r/min，钻杆钻入土层的深度l=40m，材料的切变模量G=80GPa，许用切应力 =40MPa，假设土壤对钻杆的阻力沿长度均匀分布，试求：（1）土壤对钻杆单位长度的阻力矩m；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）计算A、B截面的相对扭转角。
解(1)开口薄壁圆环
开口薄壁圆环可以看成一个长为 、宽为t的狭长矩形，则最大切应力
扭转角
(2)闭口薄壁圆环
最大切应力
扭转角
对于薄壁圆环，Ip可以写成
因此
(3)两杆最大切应力之比
两杆扭转角之比
讨论：由本题的计算结果可以看出，闭口薄壁圆环的切应力及扭转角要比开口薄壁圆环小得多，因而在薄壁构件中应尽量采用闭口薄壁杆件。
实心轴和空心轴最大相对扭转角分别是
式中，l为轴的长度。故两轴最大相对扭转角之比
将 代入上式，则
再将α＝0.8代入上式，得
可见，空心轴的扭转角远小于实心轴的。因此，采用空心圆轴不仅强度高，而且刚度也远优于实心圆轴。
三、计算题
两个受扭薄壁杆截面，一个是开有纵向细缝的开口薄壁圆环，另一个是闭口薄壁圆环，如图所示。两杆的材料相同，尺寸相同，平均直径D=40mm，壁厚t=2mm，长度为l。两杆承受的扭矩相同。试求两杆最大切应力之比及扭转角之比。
①最大剪应力只出现在横截面上；
②在横截面上和包含杆件的纵向截面上均无正应力；
③圆轴内最大拉应力的值和最大剪应力的值相等。
现有四种答案，正确的是（ A ）。
A②③对 B①③对
C①②对 D 全对
二、计算题
1、试用截面法求出图示圆轴各段内的扭矩T，并作扭矩图。
答：
2、图示一齿轮传动轴，传递力偶矩Me=10kN．m,轴的直径d=80mm.。试求轴的最大切应力。
答：
7、图示传动轴，主动轮B输入功率P1=368kW,从动轮A，阵C输出的功率分别为P2=147kW,P3=221kW,轴的转速n=500r/min,材料的G=80GPa，许用切应力 =70MPa，许用单位长度扭转角 =10/m。（1）画出轴的扭矩图；（2）设计轴的直径；（3）讨论提高轴强度和刚度的措施
二、重点与难点
1、受扭杆件所受的外力偶矩，常由杆件所传递的功率及其转速来换算。
2、圆杆扭转时，横截面上切应力沿半径线性分布，并垂直于半径，最大切应力在外表面处。
3、低碳钢材料圆杆扭转破坏时，将沿横截面被剪断。铸铁材料圆杆扭转破坏时，将沿与杆轴线成450螺旋面被拉断。
三、解题方法要点
1、
2、
4.2典型题解
（3）薄壁圆管和空心圆管的扭转切应力公式完全一样。（错）