(r, ) Gf (r )
T (r, )dA M
A
截面上各点变形的规律：实验观测
合理假设
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连续体的变形协调条件(数学公式)
第四章
扭转
一、试验与假设
1. 实验观测
圆周线：形状、大小与间距均不改变，仅绕轴线相对旋转。 纵线：倾斜同一角度并保持直线。 2. 扭转平面假设 各横截面如同刚性圆片，仅绕轴线作相对旋转。 这一假设为建立单参数的变形协调公式提供了依据。
T
2M x a
M


A B
2M
x
T
可能危险截面A、B
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第四章 2、总扭转角 T
m 2M a
扭转
(分4段计算)
A B
M
3M
d D
a
T
a
a

a
M
x

A B
2M
x
2M T x a
2M x a 2 Ma Ma Ma T a 4 dx 0 D D4 D4 D4 d 4 G G G G 32 32 32 32
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第四章
扭转
扭矩图：扭矩 (T) 随轴线位置(x)变化的图线。 例：画扭矩图。 在AB和BC段分别切开，分别 考察左与右段平衡（设正）
2M
2M
B
M
A
3M
C
AB段： T1 2 M BC段： T2 M
T2 M
T1 2M
M
A
C
T

M
画扭矩图。
注意：扭矩图与受扭轴对齐， 标注正负号。
轴：
以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。
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第四章
扭转
工程中的扭转问题
传动轴
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第四章
扭转
Page 5
第四章
扭转
A M
4.2 扭矩与扭矩图 m
m m T m
M B
扭矩：矢量方向垂直于横 截面的内力偶矩，并用T 表示。
A M
x
扭矩 扭力矩!
符号规定：矢量方向(按 右手螺旋定则)与横截面 外法线方向一致的扭矩 为正，反之为负。
圆轴截面扭转刚度
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第四章 二、圆轴扭转刚度条件 d T dx GI P
扭转
单位长度许用扭转角： 刚度条件: 注意
T GI P max
d :扭转角沿轴线的变化率 dx
单位 rad/m
工程常用单位 () / m
等截面圆轴:
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公式的适用范围：
第四章
扭转
例：画横截面扭转切应力分布示意图。设平面假设成立
R1 G1
G2
R1
R2
R2
O
T
T
空心轴
组合轴 (G2 G1 )
O
O
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第四章
扭转

薄壁圆管的扭转切应力
1、精确计算 ——按空心轴的计算办法
R1
R2
2、近似计算 管壁薄——假设切应力沿 管壁均匀分布

扭转极限应力
s u b
扭转屈服应力，塑性材料 扭转强度极限，脆性材料
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第四章
扭转
二、圆轴扭转强度条件
工作应力： max
许用切应力： 强度条件：
max
T W P max
等截面与非等截面轴
u
n
n
安全因数
Tmax 等截面圆轴： WP
Tmax GI P
一般传动轴， [ ] = 0.5 ~1/m 180 /m 注意单位换算: 1 rad / m π
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第四章
扭转
例：已知轴的尺寸， ， ，计算总扭转，校核强度与刚度。
m 2M a
A
B
M
3M
d D
a
x
a
a
a
解：1、画扭转图（与轴位置对齐），确定危险截面。

x
2ml
•试与轴力图比较， 考察对应关系。
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第四章
扭转
2. 对应的轴力图与扭矩图
M 3ml
m
A B
C
对应拉压问题 与轴力图
D
q
l
F 3ql
l
l/2
l/2
l/2
l/2
T
ml

FN

ql

x
2ml
2 ql

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x
第四章
扭转
3.
轴的动力传递
已知传动构件的转速与所传递的 功率，计算轴所承受的扭力矩。
扭转
§4-3
圆轴扭转应力
M
1
2
T M
M
问题：横截面应力大小、方向、分布均未知，仅知合成扭矩T 。 连续体的静不定问题 。 分析方法：几何、物理、静力学三方面。关键是几何方面：
几何方面： 截面上各点变形的规律 物理方面： 变形与应力之间的关系 静力学方面： 合成扭矩等于扭力矩
(r , ) f (r )
x
16mx
W
薄壁管的扭转切应力近似计算

•极惯性矩与抗弯截面系数 3 D4 4 D 4 Ip 1 W 1 p 32
16
T 2 2 R0
适用范围？
d D

• 切应力互等定理 (适用范围？）
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第四章
扭转
§4-4
圆轴扭转强度条件与合理设计
一、扭转失效与扭转极限应力
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第四章 3、强度校核（危险截面A和B）
m 2M a
扭转
A
B
M
3M
d D
a
T
a
a

a
M
x

A B
2M
x
T
2M x a
max
max
2M M A: , B: D3 D3 1 4 16 16 max
Page38
max
dA
T W P max
1. 合理截面形状
增大 W p
实心轴

思考：R0 / 是否是愈大愈好？
R0
空心轴
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第四章 2. 采用变截面轴与阶梯形轴
扭转
试讨论怎样设 计变截面轴和 阶梯形轴。
3. 合理分配载荷
减小Tmax
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第四章
扭转
4. 减小应力集中 在截面尺寸突变或急剧改变处，会产生应力集 中，因此在阶梯轴交界处，宜配置适当尺）
静不定问题 静不定度 求解思路 平衡方程 fi FN1 , FN 2 ,… 0 协调方程 g j l1 , l2 ,… 0 物理方程 l j FNj
gj
*
FN 1 , FN 2 ,… 0
求解
静不定珩架的内力求解
先假设节点的位移，然后画变形图，根据变形图画受力 图，再找各杆之间的变形协调关系
T= AR0 A2R0
T 2 2 R0
当R0/10时，足够精确
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第四章
扭转

切应力互等定理
薄壁园管的扭转实验，沿壁厚方向取一微体
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第四章
y dz
扭转
dydz 1
将所取微体置于坐标系下，研 究其平衡
dy

M
1dydz
x
z
0
1dydz dx dxdz dy 0
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第四章
扭转
四. 极惯性矩与抗扭截面系数
Ip 2dA
A
•空心圆截面
D d

d
dA 2 d
IP
D/2 d /2
2 2 d
4
D4
32
(1 4 )
•实心圆截面 设
d WP (1 ), 16 D
D3
0
D
32
4
IP
, WP
D3
16
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第四章
扭转
圆轴扭转应力小结
平面假设 外部变形
物理方程(应力应变关系) 静力学条件(平衡方程)
切应变
d dx
d 求出截面常数 完全确定切应变分布 dx
剪切胡克定律
T 横截面上剪应力 IP
圆截面轴； max p
解: 计算一分钟的功 W
从电机看
W P(千瓦） 60 （秒）
P(1000牛顿米） 60 （秒） 从扭力矩看 W T (牛顿米） （弧度） T (牛顿米） 2n（弧度） 60000 P P 两式得扭矩 T 9549 (牛顿米） 2n n Page10
第四章
由此得
d dx
截面常数
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第四章
扭转
d dx
2. 物理方面
G
d G dx
考察：扭转切应 力分布规律 与 成正比， 垂直于半径
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第四章
扭转
d G dx
3. 静力学方面
公式中还有哪些量未被确定？

设计实心圆轴直径d。 a、根据强度条件
d1
3
A
m
l
16Tmax

d1 27.311mm
b、根据刚度条件
32Tmax d2 4 G