矩阵、行列式的概念与运算知识点总结： 一、矩阵的概念与运算1、 矩阵111213212223a a a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭中的行向量是()111213a a a a =r ，()212223b a a a =r；2、 如：1112131112111221222321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，111112211112122211131223211122212112222221132223a c a c a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++⎛⎫=⎪+++⎝⎭矩阵加法满足交换律和结合律，即如果,,A B C 是同阶的矩阵，那么有：,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。

同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。

实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。

矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB ==()()AB C A BC =3、 矩阵乘法不满足交换率，如1111111122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≠⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。

二、行列式概念及运算 1.用记号2211b a b a 表示算式1221b a b a -,即2211b a b a =1221b a b a -,其中2211b a b a 叫做二阶行列式;算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线2211b a b a 可把二阶行式写成它的展开式,这种方法叫做二阶行列式展开的对角线法则;即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积. 2.二元一次方程组的解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a (其中2121,,,b b a a 不全为零);记2211b a b a 叫做方程组的系数行列式;记=x D 2211b c b c ,2211c a c a D y =即用常数项分别替换行列式D 中x 的系数或y 的系数后得到的.(1) 若D ,0≠则方程组有唯一一组解,DD y D D x y x==, ; (2) 若0=D ,且y x D D ,中至少有一个不为零,则方程组无解;(3) 若0===y x D D D ,则方程组有无穷多解. 3。

三阶行列式及对角线法则用333222111c b a c b a c b a 表示算式;其结果是231312123213132321c b a c b a c b a c b a c b a c b a ---++. 我们把333222111c b a c b a c b a 叫做三阶行列式; 231312123213132321c b a c b a c b a c b a c b a c b a ---++叫做三阶行列式的展开式.其计算结果叫做行列式的值;i i i c b a ,,(3,2,1=i )都叫做三阶行列式的元素.4． 三阶行列式按一行(或一列)展开把行列式中某一元素所在的行和列去后,剩下的元素保持原来的位置关系组成的二阶行列式叫做该元素的余子式;余子式前添上相应的正负号叫做该元素的代数余子式;其中第i 行与第j 列的代数余子式的符号为ji +-)1(.三阶行列式可以按其一行或一列)展开成该行(或该列)元素与其对应的代数余子式的乘积之和.三阶行列式有有两种展开方式:(1)按对角线法则展开,(2)按一行(或一列)展开. 5.三元一次方程组的解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333322221111dz c y b x a d z c y b x a d z c y b x a );)3,2,1(,,((不全为零其中=i c b a i i i记333222111c b a c b a c b a D =为方程组的系数行列式;记333222111c b d c b d c b d D x =,333222111c d a c d a c d a D y =333222111d b a d b a d b a D z =,即用常数项分别替换行列式D 中z y x 或或的系数后得到的. (1) 当0≠D 时,方程组有惟一解⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===DD z D D y D D x z y x(2) 当0=D 时,方程组有无穷多组解或无解.举例应用： 一、填空题：1、已知314012212.341241211A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则3A B -= ；解：3A B -=92103758112⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭；2、已知1223,2131A B -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则AB = ；BA = 解：122381213175AB --⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭；4157BA -⎛⎫= ⎪⎝⎭3、已知1558534,,10672246A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，则()AB C = ；()A BC = 解：155********()()10;6722412926AB C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭155********()(10)6722412926A BC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭4。

矩阵的一种运算,⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛dy cx by ax y x d c b a 该运算的几何意义为平面上的点),(y x 在矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a 的作用下变换成点124),,(22=++++y xy x dy cx by ax 若曲线在矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11b a 的作用下变换成曲线b a y x +=-则,1222的值为 .解：由题意11a x x ay b y bx y +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭g ，代入2221x y -=，整理可得令''x ay x bx y y +=⎧⎨+=⎩，22()2()1x ay bx y ∴+-+=， 2222(12)2(2)(2)1b x a b xy a y ∴-+-+-=，用待定系数法2212122(2)42022b a a b a b b a ⎧-==⎧⎪-=⇒⇒+=⎨⎨=⎩⎪-=⎩二、选择题5、给出下列三个式子： （1）11121112111211122122212221222122a a b b b b a a a a b b b b a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）()111112132111111221133131b a a a b a b a b a b b ⎛⎫⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭（3）()()111111121321111213213131.b b a a a b a a a b b b λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中正确的式子的个数是（ ） 个 个 个 个解：由于上面各命题都不对，所以选择（A ） 6.下面给出矩阵的一些性质中正确的是（ ）=BA B.若AB=(0),则A=(0)或B=(0) C.若AB=AC,则B=C D.(AB)C=A(BC) 解：根据矩阵的性质，知道（A ），（B ），（C ）都不对，所以选取（D ）7、已知34,,211x y A B y x +-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭若A=2B,则x,y 的值分别为（ ）.,2 B.32,2,1 D.不存在 解：由23438222321121222x x y x y A B y x y x y =⎧+-+=-⎛⎫⎛⎫⎧⎪=⇒=⇒∴⎨⎨ ⎪ ⎪---=-=⎝⎭⎝⎭⎩⎪⎩ 8、下列说法正确的是（ ）. A.任意两个矩阵都可以相加 B.任意两个矩阵都可以相乘C.一个m k ⨯阶矩阵与一个k n ⨯阶矩阵相乘得到一个m n ⨯阶矩阵D.一个k m ⨯阶矩阵与一个n k ⨯阶矩阵相乘得到一个m n ⨯阶矩阵 解：根据矩阵的乘法性质，得到（C ）成立。

三、解答题 9、已知矩阵305211,214221A B -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求矩阵X ，使23A X B -=解：设111213212223a a a X a a a ⎛⎫=⎪⎝⎭，则11121321222363310323432383a a a A X a a a ---⎛⎫-= ⎪----⎝⎭由23A X B -=，得111112121313212122222323836321318133103133343272203232083173a a a a a a X a a a a a a ⎧=⎪-=-⎧⎪-⎪⎪-==⎛⎫⎪⎪- ⎪⎪-=⎪⎪=⇒∴=⎪⎨⎨--= ⎪⎪⎪=--⎪⎪⎪⎝⎭-==⎪⎪-=⎪⎪⎩⎪=⎩。

10．给出方程组232610ax y x y -=-⎧⎨++=⎩有唯一解的充要条件解：由23261ax y x y -=-⎧⎨+=-⎩即对应823230232326123082308a a a a a a ⎛⎫-------⎛⎫⎛⎫⎪⇒⇒+ ⎪ ⎪ ⎪-+ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎝⎭ 即82323(23)8a y a a x ⎧-=--⎪+⎨⎪+=⎩，所以当且仅当22303a a +≠∴≠-时有唯一解。

11．（1）求231111,0101⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（2）求11(2,)01nn n N *⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭解：（1）2311121113;;01010101⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）由此猜想：1110101nn ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下面用数学归纳法加以证明证明：（1）当2n =时，等式成立：（2）当(2,)n k k k N *=≥∈时，等式成立，即1110101kk ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么111111111111010101010101k kk k ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则当1n k =+时，等式成立。