相乘也可交换。
16．设 n 阶方阵 A ， B 满足 A2 A ， B2 B ，且 (A B)2 A B ，证明：
AB O 。
§2 行列式
1．计算下列行列式： 1 2 14
（1） 0 1 2 1 ； 1 0 13 0 1 31
1123
（2） 1 2 x2 2 231
3； 5
2 3 1 9 x2
0
a1 an a2 an a3 an
an a1 an a2 an a3
0
x1 a12 a13 a1n x1 x2 a23 a2n （6） Dn x1 x2 x3 a3n ；
x1 x2 x3 xn
a 0 00 0 b 0 a 00 b 0 0 0 ab 0 0 （7） D2n 。 0 0 ba 0 0 0 b 00 a 0 b 0 00 0 a
0aba （3） a 0 a b ；
ba0a aba0
1a a 0 0 0 1 1 a a 0 0 （4） 0 1 1 a a 0 。 0 0 1 1 a a 0 0 0 1 1 a
xyz
x
y
z
2．已知 3 1 2 1，求 3x 3 3y 1 3z 2 。
121
3
6
3
3．证明
sin 2 sin( ) sin( ) sin( ) sin 2 sin( ) 0 。
1 0 1 7．已知 A 0 2 0 ，若 3 阶矩阵 B 满足 A2 B A B I3 ，求| B | 。
2 0 1
8．设 n 阶实对称矩阵 A 满足 A2 6A 8I 0 ，求| A 3I | 。
9．证明：
1 x1 a1 x12 b1x1 b2 x13 c1x12 c2 x1 c3
a3
a1 1 a2 a3
（3） Dn a1
a2 1 a3
an
an an ；
a1
a2
a3 1 an
2 1 00 0
1 2 10 0
（4） Dn
0
1
2
0
0；
0 0 02 1
0 0 01 2
0
（5） Dn
a2 a1 a3 a1
a1 a2 0
a3 a2
a1 a3 a2 a3
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 11
，求
A
n
（
n
N
）。
1 0 1
11．设
A
0
2
0
，求
An
2An1 （
n
2 ）。
1 0 1
12．设
A
0 0
1 0
1 1
，求所有与
A
相乘可交换的方阵。
0 0 0
13．设
A ，B
是 n 阶方阵，且
A
1 (B 2
I n ) ，证明
A2
A 的充要条件是 B 2
In 。
（2）设 A ， B 是对称矩阵，证明： AB 是对称矩阵的充要条件是 AB BA ； （3）设 A 对称矩阵， B 是反对称矩阵，证明： AB 是反对称矩阵的充要条件是 AB BA；
（4）对于任何方阵 A ，证明： A AT 是对称矩阵， A AT 是反对称矩阵； （5）证明任何方阵 A 均可以表成对称矩阵与反对称矩阵之和。
2 4 2
1 0 2 0
3．若
(1,
0,
6,
x)
0 0 0
0 1 0
1 0 1
1 0 0
(1,
6,
1,
0)
，求
x
。
4．设
f
(x)
x2
5x
3
，
A
2 3
31 ，求 f (A) 。
a11 a12 a1n
d1
5．设
A
a21
an1
a22
an2
a2n
ann
，
D
d2
。
dn
sin( ) sin( ) sin 2
4．设 A 为 3 阶方阵，且| A | 8 ，求 1 A2 。 2
5．设 A ， B 是同阶方阵，且 AAT I ， BBT I ，| A | | B | ，求| A B | 。
6．设 a (1, 0, 1)T ， A aaT ，其中 a 为实数， n 为正整数。求| aI An | 。
1 x4 x42 x43
10．计算下列行列式（ Dn 为 n 阶行列式）：
a 001
0 a0 0
（1） Dn
；
0 0a 0
1 00a
1 2 3 n 1 n
2 3 4 n 1
（2） Dn
3
4 5
1
2；
n 1 n 1 n 3 n 2
n 1 2 n 2 n 1
1 a1 a2
1 x1 x12 x13
1 x2 a1
x22 b1x2 b2
x23 c1x22 c2 x2 c3
1
x2
x22
x23 。
1 x3 a1 x32 b1x3 b2 x33 c1x32 c2 x3 c3
1 x3 x32 x33
1 x4 a1 x42 b1x4 b2 x43 c1x42 c2 x4 c3
矩阵与行列式练习题
§1 向量与矩阵
1．设
A
1 1
0
0 1 2
，
B
11
1 0
0 1
，
（1） 计算 AB ， BA 。问 AB BA 是否成立？
（2）计算 (AB)T ， AT BT 。问 ( AB)T AT BT 是否成立？
3 6 3
2．设 a ， b 为 3 维列向量，且 abT 1 2 1 ，求 aT b 。
a11 a12 a1n
14．对于
n
阶方阵
A
a21
an1
a22
an2
a2n
ann
，称
tr(
A)
a11
a22
ann
为
A
的
迹。证明：（1）对于任何 n 阶方阵 A ， B ，成立 tr( AB) tr(BA) ；
（2）不存在 n 阶方阵 A ， B ，满足 AB BA kIn （ k 0 ）。 15．证明：若 n 阶方阵 A 与 B 相乘可交换，则 A 的多项式 f (A) 与 B 的多项式 g(B)
7．设
A
1 0
a 1
，求实数
a
的值，使
A100
1 0
0 1
。
0 1 0 0
a b c d
8．设
A
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0
1 0
，
B
0 0 0
a 0 0
b a 0
c b a
，证明
AB
BA
。
9．设
A
1 1
1 1
1 1
ห้องสมุดไป่ตู้
，求
An
（
n
N
）。
1 1 1
1 1 1 1
10．设
A
（1）求 AD 和 DA ；
（2）若 D 满足 di d j （ i, j 1,2,, n ，且 i j ），证明与 D 相乘可交换的方阵
必是对角矩阵。
6．设 A 是方阵。若 AT A ，则称 A 是对称矩阵。若 AT A ，则称 A 是反对 称矩阵。
（1）设 A ， B 是对称矩阵，证明： AB BA 是对称矩阵， AB BA 是反对称矩 阵；