vA (R r)
又因行星齿轮沿中心齿轮 边缘只滚不滑，故两节圆 的切点即为行星齿轮的瞬 时速度中心，从而有：
y
ω
曲柄
oR
太阳轮
行星轮
vA
A
ωA
r
x
A
vA r
Rr
r
vA (R r)
故其动能为：
A
R r
r
y
ω
曲柄
T轮
பைடு நூலகம்
1 2
m1vA2
1 2
J
2
AA
oR
太阳轮
1 2
m1
R
r
2
2
1 2
1 2
m1r
2
T
1 2
mi vi2
例如图示的质点系有三个质点，它们的质量分别为
m1=2 m2 =4 m3
忽略绳的质量，并假设绳不可伸 长，则三个质点的速度
v1=v2 = v3=v
例如图示的质点系有三个质点，它们的质量分别为
m1=2 m2 =4 m3
忽略绳的质量，并假设绳不可 伸长，则三个质点的速度
v1=v2 = v3=v 而方向各异。
心齿轮固定不动，其动能恒为0，曲柄OA以匀角速ω
绕固定轴O转动，其动能按定轴转动刚体动能计算，
有：
T杆
1 2
J 0 2
1 2
1 3
m2
R
r
2
2
1 6
m2
R
r
2
2
y
ω
曲柄
oR
太阳轮
行星轮
vA
A
ωA
r
x
行星齿轮作平面运动，它的动能应按刚体作
平面运动动能进行讨论计算，为此，须先求出其
质心A的速度vA和齿轮的角速度ωA，显然有：
计算质点系的动能不必考虑它们的方向，于是得
T
1 2
m1v12
+
1 2
m2v22
+
1 2
m3v32
7 2
m3v
2
三、定轴转到刚体的动能
当刚体绕定轴 z转动时，其中任一点mi 的速度为
vi ri
1 2
mi vi 2
1 2
miri2 2
故绕定轴转动的刚体的动能为
T
n i 1
1 2mivi
2
1 2
1 2
1 2
m1r 2
m1r 2
A2
3 4
m1r 2
R
r r2
2
2
y
A
R r
r
行星轮
3 4
m1
R
r
2
2
平面运动刚体的动能计算用
ω
vA
A
ωA
曲柄
r
x
oR
基点法及瞬心法均可。
太阳轮
作业：14－1， 3， 7， 8 作业：14－12，15，26，29 作业：14－33，34，37，40
根据转动惯量平行轴定理有
J P JC md 2
式中，d=CP ， JC为对于质心轴的转动惯量。
J P JC md 2
式 计中算，动能d=的CP公式JC中为，对得于质心轴的转动惯量。代入
T
1 2
J P 2
1 2 (JC
md 2 ) 2
1 2
JC 2
1 2
m(d
)2
因d·w=vC，于是得
T
1 2
例1： 图示一形心齿轮机构，已知：行星轮节
圆 半 径 为 r ， 质 量 为 m1 ， 可 看 作 均 质 圆 盘 ， 曲 柄 OA质量为m2，可看作均质杆；中心齿轮节圆半径 为R，若曲柄以匀角速ω转动，试求此机构的动能。
y
ω
曲柄
oR
太阳轮
行星轮
vA
A
ωA
r
x
解：此机构由中心齿轮，行星轮和曲柄所组成中
n i 1
mi ri 2
2
1 2
J z2
(14.16)
即：绕定轴转动的刚体的动能，等于刚体对于转轴 的转动惯量与角速度平方乘积的一半。
3、平面运动刚体的动能
取刚体质心C所在的平面如图所示。设P点是某瞬时的
速度瞬心，则作平面运动的刚体的动能为
T
1 2
J P 2
式中JP是刚体对于瞬时轴的转 动惯量。如C为刚体的质心，
R
r r2
2
2
3 4
m1
R
r 2
2
行星轮
vA
A
ωA
r
x
T杆
1 6
m2 R
r 2 2
T轮
3 4
m1R
r 2 2
故机构的总动能为:
y
ω
曲柄
oR
太阳轮
T T杆 T轮
1 6
m2
R
r
2
2
3 4
m1R
r
2
2
9m1 2m1 12
m1
行星轮
vA
A
ωA
r
x
T轮 还可直接利用对瞬心求动能：
T轮
1 2
J IA2
JC 2
1 2
mvC
2
即：作平面运动的刚体的动能，等于随质心平动的 动能与绕质心转动的动能之和。
例如，一车轮在地面上只滚动而不滑动，若轮心
作直线运动，速度为vC，车轮质量为m，质量分布在 轮缘，轮辐质量不计，则车轮的动能为
T
1 2
(mR
2
)
vC R
2
1 2
mvC 2
mvC 2
其他运动形式的刚体，应按其速度分布计算刚体 的动能。
14.2 动 能 一、质点的动能 设质点的质量为m，速度为v，则质点的动能为
mv2/2 动能是标量，恒取正值。单位 在国际单位制中为J
动能和动量都是表征机械运动的量，
前者与质点速度的平方成正比，是一个标量； 后者与质点速度的一次方成正比，是一个矢量，
它们是机械运动的两种度量.
二、质点系的动能
质点系内各质点动能的算术和称为质点系的动能，即