线性方程组的矩阵求法摘要：关键词：第一章引言矩阵及线性方程组理论是高等代数的重要内容, 用矩阵方法解线性方程组又是人们学习高等代数必须掌握的基本技能,本文将给出用矩阵解线性方程组的几种方法，通过对线性方程组的系数矩阵（或增广矩阵）进行初等变换得到其解，并列举出几种用矩阵解线性方程组的简便方法。

第二章用矩阵消元法解线性方程组第一节预备知识定义1：一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩。

定理1：初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组。

定义2：定义若阶梯形矩阵满足下面两个条件：（1）B的任一非零行向量的第一个非零分量（称为的一个主元）为1；（2）B中每一主元是其所在列的唯一非零元。

则称矩阵为行最简形矩阵。

第二节1．对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵，因此，我们将要通过花间矩阵来讨论化简线性方程组的问题。

这样做不但讨论起来比较方便，而且能给我们一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次都把未知量写出来。

下面以一般的线性方程组为例，给出其解法：（1）11112211 211222221122,,.n nn nm m mn n m a x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b+++=+++=+++=根据方程组可知其系数矩阵为：（2）111212122212nn m m mna a aa a aa a a⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其增广矩阵为：（3）11121121222212nnm m mn m a a a ba a ab a a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭根据（2）及矩阵的初等变换我们可以得到和它同解的线性方程组，并很容易得到其解。

定理2：设A是一个m行n列矩阵A=111212122212nn m m mna a aa a aa a a⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为以下形式（4）1***** 01****0001** 0000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭进而化为（5）1,112,12,11000010000010000r nr nr r rnc cc cc c+++⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭这里r≥0,r≤m, r≤n ,*表示矩阵的元素，但不同位置上的*表示的元素未必相等。

即任何矩阵都可以通过初等变换化为阶梯形，并进而化为行最简形现在考察方程组（1）的增广矩阵（3），由定理2我们可以对（1）的系数矩阵（2）施行一次初等变换，把它化为矩阵（5），对增广矩阵（3）施行同样的初等变换，那么（3）可以化为以下形式：（6）1,1112,122,11 1000010000010000r nr nr r rn rrmc c dc c dc c ddd++++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与（6）相当的线性方程组是：（7）112111,1112,122,11,,,0,0,r n r n rr n i r i n i i r i n i i r r i rn i r r m x c x c x d x c x c x d x c x c x d d d ++++++++++=+++=+++===这里1i ，2i ，…，n i 是1，2，…，n 的一个排列，由于方程组（7）可以由方程组（1）通过方程组的初等变换以及交换未知量的位置而得到，所以由定理1，方程组（7）与方程组（1）同解。

因此，要求方程组（1），只需解方程组（7），但方程组（7）是否有解以及有怎样的解很容易看出:情形（1），r<m,而1r d +,…, m d 不全为零，这时方程组（7）无解，因为它的后m-r 个方程中至少有一个无解。

因此方程组（1）也无解。

情形（1），r=m 或r<m 而1r d +,…, m d 全为零，这时方程组（7）与方程组（8）112111,1112,122,1,,r n r n r r n i r i n i i r i n i i r r i rn i rx c x c x d x c x c x d x c x c x d +++++++++=+++=+++= 同解。

当r=n 时，方程组（8）有唯一解,就是ti x =td ,t=1,2,…,n.这也是方程组（1）的唯一解当r<n 时方程组（8）可以改写为（9）1121111,1122,12,1,,r n r n r r ni r i n i i r i n i i r r r i rn i x d c x c x x d c x c x x d c x c x ++++++=---=---=---于是,给予未知量1r i x +,…,ni x 以任意一组数值1r i k +,…ni k ，就得到（8）的一个解：1111111,11,1,,,.r n r r n r r n n i r i n i i r r r i rn i i i i i x d c k c k x d c k c k x k x k ++++++=---=---==这也是（1）的一个解。

由于1r i k +,…ni k 可以任选，用这一方法可以得到（1）的无穷多解。

另一方面，由于（8）的任一解都必须满足（9），所以（8）的全部解，亦即（1）的全部解都可以用以上方法得到。

例1：解线性方程组123412412341234235,243,2328,29521.x x x x x x x x x x x x x x x +++=+-=---++=+--=-解：方程组的增广矩阵是123152401312328129521⎛⎫⎪-- ⎪⎪--⎪---⎝⎭ 进行初等行变换可得到矩阵最简形131222113001260000000000⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 0 对应的线性方程组是124341322211326x x x x x +-=-+=把移到右边作为自由未知量，得原方程组的一般解12434312,22131.62x x x x x =--+=-第三章 用初等变换解线性方程组定义2：设B 为m ⨯n 行最简形矩阵, 按以下方法作s ⨯n 矩阵C:对任一i : 1i s ≤≤, 若有B 的某一主元位于第i 列, 则将其所在行称为C 的第i 行, 否则以n 维单位向量(0,,0,1,0,0)i e =-作为C 的第i 行, 称C 为B 的s ⨯n 单位填充矩阵(其中1i s ≤≤).显然, 单位填充矩阵的主对角线上的元素只能是“1”或“ -1” , 若主对角线上某一元素为“-1” , 则该元素所在列之列向量称为C 的“ J 一列向量” 。

定义3：设B 为行最简形矩阵, 若B 的单位填充矩阵C 的任一“ J 一列向量”均为以B 为系数矩阵的齐次线性方程组:(1)1111221211222211220,0,0.n nn nm m mn nb x b x b xb x b x b xb x b x b x+++=+++=+++=(1)的解向量，则陈C与B是匹配的（也说B与C是匹配的）。

引理1：设B为行最简形矩阵，若将B的第i列与第j列交换位置所得矩阵仍为行最简形矩阵，则：（Ⅰ）将的单位填充矩阵的第行与第行交换位置，第列与第列交换位置所得矩阵为单位填充矩阵，其中（Ⅱ）若C与B是匹配的，则'C与'B也是匹配。

证明：结论（Ⅰ）显然成立，下证（Ⅱ），因为C与B是匹配的，故C只能是n⨯n矩阵, 从而'C也是n⨯n矩阵, 设以B为系数矩阵的方程组为(1), 以'B为系数矩阵的方程组为(1),以'B为系数矩阵的方程组为：'''1111221'''2112222'''11220,0,0.n nn nm m mn nb x b x b xb x b x b xb x b x b x+++=+++=+++=(2)则由B与'B的关系可知对方程组（1）进行变量代换。

11,,j j n nx y x y x y===就得到方程组（2）, 于是方程组（1）的任一解向量交换i、j两个分量的位置后就是方程组（2）的一个解向量, 又从C与'C的关系可知, 'C的任一“J一列向量”均可由C的某一“J一列向量”交换i、j 两个分量的位置后得到, 从而由C与B匹配知'C与'B也是匹配的。

引理2：任一m⨯n行最简形矩阵与其n⨯n单位填充矩阵C是匹配的。

证明:1设1,11,212,12,22,1,2100010010*******0r r n r r n r r r r rn n nb b b b b b B b b b ++++++⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (3) 则以为系数矩阵的齐次线性方程组为:11,111,22122,112,222,11,220,0,0r r r r n n r r r r n n r r r r r r r mn n x b x b x b x x b x b x b x x b x b x b x ++++++++++++++++=++++=++++= (4)而B 的单位填充矩阵为:1,11,212,12,22,1,2100010010*******1r r n r r n r r r r rn n nb b b b b b C b b b ++++++⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ (5) 其所有J 一列向量为11,1,121,2,21,,(,,1,0,0)(,,0,1,0)(,,0,0,1)r r r r r r r r n nr n b b b b b b ηηη++++++=-=-=-显然它们都是方程组(4)的解, 即B 与C 是匹配的.2，一般形式的行最简形矩阵B 显然总可以通过一系列的第二类初等列变换(变换两列的位置)化为(3)的形式, 从而B 的单位填充矩阵C 通过相应的初等行、列变换就变成矩阵(5), 由于这种变换是可递的,据引理2及引理1（Ⅱ） 知B 与C 是匹配的。

定理3:设齐次线性方程组1111221211222211220,0,0.n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++= (6)的系数矩阵A 经一系列初等行变换化为行最简形矩阵B, 则B 的n ⨯n 单位填充矩阵C 的所有“ J 一列向量”构成方程组(6)的一个基础解系。