当前位置:文档之家› 同济大学线性代数教案第一章线性方程组与矩阵

同济大学线性代数教案第一章线性方程组与矩阵

线性代数教学教案
第一章线性方程组与矩阵
授课序号01
),2,
,;1,2,,m j n = 排成的m 11121212221
2
n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
,有时为了强调矩阵的行数和列数,也记为称为元素ij a 的行标,j 称为元素,
B 或字母,,,
αβγ表示矩阵,例如a =. ),n a .
2
n a ⎪⎪⎪⎭
.
1212221
2
n n n n nn a a a a a ⎫⎪⎪
⎪⎪⎭
. 112122
12000n n nn a a a a a a ⎛⎫




⎝⎭与上三角矩阵122200
n n nn a a a ⎫⎪⎪
⎪⎪⎭
. 20000
n a a ⎫⎪⎪
⎪⎪⎭,或记为),,n diag a .
阶单位矩阵1000
100
1⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
E . 两个矩阵的行数相等、列数也相等,则称这两个矩阵为同型矩阵如果两个同型矩阵()ij m a =A ,2,
,;1,2,,m j n =,则称矩阵负矩阵的定义:对于矩阵()ij m n a ⨯=A ,称矩阵二、矩阵的线性运算:
矩阵的加(减)法:设()ij m n a ⨯=A 和B 121222222122
n n n m m m mn mn a a a b a b a b +⎛+⎪
⎪⎪
+++⎭

,ip a 与矩阵,pj b 乘积之和,即22.i j ip pj a b a b +
+矩阵乘法满足的运算规律(假设运算都是可行的)结合律:()AB )=+B C AC
12122
212n n m m mn a a a a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭,转置矩阵112
22212.m m n
n
nm a a a a a ⎫⎪⎪
⎪⎪⎭
矩阵的转置满足的运算规律(这里k 为常数,A 与B 为同型矩阵)(2) ()T
T T +=+A B A B ;
(4) ()T
T
k k =A A .
),2,,n .
阶方阵()ij a =A 如果满足),2,
,n ,且),n .
24⎫⎪⎭,⎛= ⎝B ,求+A B 和11-⎫0⎫

12222222n n n n m mn n a x a x x a x b +++
+=12122
212n n m m mn a a a a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭称为该线性方程组的系数矩阵. 令2
n x ⎪⎪⎪⎭x ,2m b ⎪=⎪⎪⎭
β,有:
1111112212122
2221122221
21122n n n n n n m m mn n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a a a x a x a x a x +++⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪

++
+⎪⎪ ⎪
=⎪⎪ ⎪⎪⎪
⎪++
+⎭⎝⎭⎝⎭
. 再根据矩阵相等的定义,该线性方程组可以用矩阵形式来表示:=Ax β.
010⎫⎪
⎪⎪⎭
,求2A 和3A .
11-⎛⎫
授课序号02
1212221
2
t t s s st ⎫⎪⎪⎪⎪⎭A A A A A ,121
2221
2
t t s s st ⎫⎪ ⎪
=
⎪ ⎪⎝⎭
B B B B B B , 的行数相同、列数相同,则有
111112121121212222221
22
t t t t s s s st st ±±±⎛⎫

±±± ⎪
±= ⎪⎪
±±±⎭
A B A B A B A B A B A B A B B A B A B . 矩阵的分块方式没有特别规定,对任意的分块1112121
2221
2
t t s s st ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭
A A A A A A A A A A ,都有 121
2221
2
t t s s st k k k k ⎫
⎪⎪
⎪⎪⎭
A A A A A .
1212221
2
k k t t tk ⎫⎪⎪⎪⎪⎭A A A A A ,121
22212
u u k k ku ⎫⎪ ⎪
=
⎪ ⎪⎝⎭
B B B B B B , ,ik A 的列数分别等于12,,
,j j kj B B B 的行数,则
111212122212
u u t t tu ⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
C C C C C C AB C C C , 1122i j i j ik kj ++
+A B A B A B 121
2221
2
k k t t tk ⎫⎪
⎪⎪
⎪⎭A A A A A ,则T
T T 11
211
T T T T 12
22
2T
T
T 12t t k
k
tk ⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
A A A A
A A A A A A 阶方阵,若A 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块,且这些非零子块都是方阵,而其余子块都是零矩阵,即
1
2t ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪⎪⎭
A O O O A O A O
O
A , ),2,,t 都是方阵,这样的分块阵称为分块对角阵.
)T
,0,1,0,
,0为第i 个分量为)12,
,
,n e e e . 将矩阵A 按列分块为),n A ,个列向量,则有
)(122,,,
,
,n ===A A AE A e e Ae 2,
,)n Ae ,
易知T
k l e Ae 都有=A O α
授课序号03
r
B表示矩阵
c
B表示矩阵等价.
用矩阵的初等行变换解线性方程组:元非齐次线性方程组的增广矩阵A;
实施初等行变换,化为行最简形矩阵
写出以R为增广矩阵的线性方程组;。

相关主题