（1）原命题：若a>b，则a+c>b+c 否命题：若a≤b，则a+c≤b+c 真
真
（2）原命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形. 假 否命题：若四边形两对角线不垂直，则四边形不是正方形. 真
结论2 原命题的真假和否命题的真假没有关系.
互为逆否命题的真假关系 探究三：
*判断下列命题的逆否命题的真假，并总结规律.
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0； 真 逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0； 真
例1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命
题，并判断命题的真假． (2)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数； 真

逆命题：若x＋y是偶数，则x、y都是奇数； 假
否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数； 假 逆否命题：若x＋y不是偶数，则x、y不都是奇数； 真
解： 原命题： 若x y， 则x 2 y 2 ; 假 逆命题: 若x 2 y 2， 则x y; 假
否命题: 若x y， 则x 2 y 2 ; 逆否命题: 若x 2 y 2， 则x y. (2)若m>0或n>0，则m＋n>0.
假 假
原命题：若m>0或n>0，则m＋n>0；假 逆命题：若m＋n>0，则m>0或n>0； 真 否命题：若m≤0且n≤0，则m＋n≤0. 真 逆否命题：若m＋n≤0，则m≤0且n≤0；假
2. 下列命题中为真命题的是（ ②“正三角形都相似”的逆命题；
）
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题； ③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；
④命题“ 若x 1或x 4，则x 2 5x 4 0 ”.
A.①②③④
B.①③
C.②③④
D.①④
3. 填空
① 命题“若x 2 4，则 2 x 2”的逆否命题为 __ __ ②命题“ 若x 1，则x 2 1 0 ”是____ 命题（填“真、假”）
（1）原命题：若a>b，则a+c>b+c 逆命题：若a+c>b+c，则a>b
真
真
（2）原命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形. 假
逆命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直. 真
结论1 原命题的真假和逆命题的真假没有关系.
探究二：互否命题的真假关系
*判断下列命题的否命题的真假，并总结规律.
四种命题间的相互关系
衡东五中
谭若云
一、复习回顾，导入新课
四种命题之间的关系
原命题 若p则q
互 为 否 命 题
互为逆命题
逆命题 若q则p
互 为 否 命 题
否命题 若非p则非q
互为逆命题
逆否命题 若非q则非p
二、推进新课、探究新知
探究一： 互逆命题的真假关系
*判断下列命题的逆命题的真假，并总结规律.
例2．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0
有实数根”的逆否命题的真假．
解析：方法一 因为 m>0，所以 12m>0，所以 12m＋4>0. 所以方程 x2＋2x－3m＝0 的判别式 Δ ＝12m＋4>0. 所以原命题“若 m>0，则方程 x2＋2x－3m＝0 有实数根”为真 命题． 又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若 m>0，则方程 x2＋ 2x－3m＝0 有实数根”的逆否命题也为真命题．
例1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题， 并判断命题的真假． (1)若ab＝0，则a＝0或b＝0； (2)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数； (3) 垂直于同一平面的两直线平行．
例1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题， 并判断命题的真假．
(1)若ab＝0，则a＝0或b＝0；
真
逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0； 真
③ 已知命题"若m 1 x m 1，则1 x 2"的逆命题为真，
__ 则m的取值范围为__
五、反思小结,提升能力
四种命题间的相互关系
原命题 若 p则 q 互 否 命 题 真 假 无 关 否命题 若﹁ p则﹁ q 逆命题 若q则p
互 否 命 题 真 假 无 关
逆否命题 若﹁ q则﹁p
（1）原命题：若a>b，则a+c>b+c 逆否命题：若a+c≤b+c，则a≤b
真 真
（2）原命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形. 假 逆否命题：若四边形不是正方形，则四边形两对角线不垂直. 假
结论3 原命题和逆否命题总是同真同假.
一般地，四种命题的真假性，有且仅有以下 四种情况： 原命题 逆命题 否命题 逆否命题
例1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命
题，并判断命题的真假．
(3) 垂直于同一直线的两直线平行． 假
逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于 同一条直线． 真
否命题：如果两条直线不垂直于同一条直线，那么这 两条直线不平行． 真 逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不 垂直于同一条直线． 假
方法二
原命题的逆否命题为“若方程x2＋2x－
3m＝0无实数根，则m≤0”． 方程x2＋2x－3m＝0无实数根，
1 所以Δ ＝4＋12m<0.所以m<－ ≤0. 3
所以“若方程x2＋2x－3m＝0无实数根，则m≤0” 为真命题．
四、课堂练习
1. 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假. （ 1 ）当x y时，x 2 y 2 ;
2 2
证明：
若x, y中至少有一个不为0,不妨设x 0
则x 0, 所以x y 0
2 2 2
这已知条件x
2
故
x y0
y 2 0矛盾，
得证
真 真
假 ___
假 ___
真
假 ___
真 ___
___ 真 ___ 真 假 假
假 真
假 ___
___ 真 假
四种命题的真假性之间的关系：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系.
练习：四种命题中真假的个数可能为（ 0、2或4 ）个.
三、例题讲解
六、作业布置、提高巩固
1.课本P8习题1.1A组第3、4题
2.思考题：
2 命题：对任意 x R, ax 2 x 3 0 不成立是真命题， 求实数a的范围.
例3 证明：若 x y 0 , 则 x y 0
2 2
分析：可证明与其等价的逆否命题
若x, y中至少有一个不为0,则x y 0