1 通常 v xv y v z v v v v2 3 2 2 2 2 2 2 2 v i v ix v iy v iz v v v 2x Nx 其中 v 2 1x x 2 2 2 2 N v v x v y vz
v
f v
1 2 2 2 px py pz 2m V dp x dp y dp z 3 h
al Fra biblioteke l
l
1 2 2 ( px p2 V 2 mkT y pz ) dN p 3 e dpx dp y dpz h
e
e


1 2 2 ( px p2 y pz ) 2 mkT
f (v) lim v 0
N 1 dN Nv N dv
──这就是麦氏速率分布函数。
速率分布函数的意义：速率在v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数 的百分比。一个分子，其速率分布在v单位间隔内的概率。 一个分子，某一时刻速度 可是大量分子速度分量的方均值相等。
2 x 2 y 2 z
平衡态——麦克斯韦速率分布函数，可由玻尔兹曼统计求。
dN v f v Ndv
d Nv
k R N A 1.38 1023 J K 1
dv
v
f ( v) 4 π (
mv 2 2 kT
麦氏速率分布函数
m 32 ) e 2 πkT

mv 2 2 kT
v2
dN m 32 4π( ) e N 2 πkT
v 2 dv
1、对于给定气体f（v）只是T 的函数。 m：分子的质量 2、速率分布是统计规律，只能说：某一速率区间的分子有多少；不能说： 速率为某一值的分子有多少。混合气体不存在此分布律，但各组分仍适用。 3、由于分子运动的无规则性，任何速率区间的分子数都在不断变化，dNv 只 表示统计平均值。为了使dNv 有意义，d v 必须宏观足够小，微观足够大。
求解：体积V内，速度在dvxdvydvz范围内的分子数 dNv
先求 dNp
，再变量代换为 dNv
先求此范围内的微观状态数， l 再乘以玻耳兹曼分布 al e
最终得到单位体积内，分子速度在dvxdvydvz范围内的分子数
2 m 2 2 kT ( vx2 v 2 y vz ) n dNv dvx dvy dvz e 2kT

y
, vz )dvx dvy dvz n
换球坐标，并对角度积分：
m 2 2 kT v 2 2 f (v)dv 4n v dv e 2kT
3 m
-------麦克斯韦速率分布律
1.无外场时，分子平均能 量 的经典表达式为 2.体积V内，分子质心平 动动量在dpxdpydpz范围内 的状态数 3.体积V内，分子质心平 动动量在dpxdpydpz范围内 的分子数 dNp V 4.参数α 由总分子 3 h 数N的条件定出 5.将积分求出，得： 6.体积V内，分子 质心平动动量在 dpxdpydpz范围内的 dNp 分子数
麦克斯韦的两种推导方法，均不利用M-B分布 推导方法1，有假设
推导方法2，无假设，从碰撞出发
其他数学方法：不利用M-B分布推导
麦克斯韦速度分布律的推导（从M-B分布）
物理模型
气体含有N 个分子，体积为V;
宏观容器内，分子的平均能量可以看作准连续的变量; 一般地，气体满足经典极限条件，遵从玻耳兹曼分布; 方案：经典统计理论
20.6 % 15.1 % 9.2 % 4.8 % 2.0 % 0.9 %

麦克斯韦从理 论上得到速率 分布定律
将气体分子的所有可能的速率，按照从小到大分隔成一系列相等的速率间 隔，即v1v1+v, v2v2+v,…,然后考察分布在速率间隔v+v内的分子数 N占总分子数的百分比N/N, 为了进一步消除速率间隔v的影响，将比 值N/N除以v,即得 N/Nv 取极限，并令极限值为以f(v)表示，──其 是速率v的确定函数。即
§3.4 麦克斯韦速率分布律
一、气体分子的速率分布函数 对某一分子，其任一时刻的速度具有偶然性，但对于大量分子，其速率 的分布从整体上会出现一些统计规律。 如果我们将气体分子在平衡态下，所有可能的运动速率(在经典物理 中为0→)，按照从小到大的排列，分成一系列相等的速率区间，例 如从： 0─100m/s，100─200m/s，200─300m/s，… （i）如果跟踪考察某些个别分子，在某一瞬间，到底在哪个速率区 间内运动，那么，我们发现这种运动完全是偶然的，无规则的(即随 机的），毫无意义的。 （ii）如果我们考察的对象，不是个别的具体的分子，而是大量分子的 整体，例如我们考察：在某一平衡态下，分布在各个速率区间内的分子 数Ｎ，占总分子数N的百分比──这时就会发现，它是存在确切的统计 规律的，按照这个思路考虑下去，就可得到麦氏速率分布律。
3
dpx dpy dpz N
N V
h 2 mkT
2
2
2 1 2 2 mkT ( px2 p 2 y pz ) N dN p dpx dpy dpz e 2m kT
3
1
体积V内，分子质心平动动量在dpxdpydpz范围内的分子数
3
m
将 dNv 记为：
m f (vx , v y , vz )dvx dvy dvz n e 2kT
2
3

m 2 2 ( vx v 2 y vz ) 2 kT
dvx dvy dvz
-------麦克斯韦速度分布律
速度分布函数满足：
f (v , v
x

斯特恩从实验 上证实了速率 分布定律
速率区间 (m/s) 分 子实 速验 率数 分据 布 的 ＜ 100 100~200 200~300 300~400 400~500 500~600 600~700 700~800 800~900 ＞ 900
百分数
1.4 % 8.1 % 16.5 % 21.4 %