问题：项目的内部收益率是唯一的吗？
项目内部收益率的唯一性问题讨论
例：某大型设备制造项目的现金流情况
年 份 0 1 2 3 4 5 净 现 金 流 量 1900 1000 － 5000 － 5000 2000 6000
用 i1 = 10.4% 和 i2 = 47.2% 作折现率，均可得 出净现金流现值和为零的结果。 • 可以证明，当项目净现金流量的正负号在项目 寿命期内发生多次变化时，计算IRR的方程可 能有多个解。 • 问题：这些解中有项目的IRR吗？如果项目净 现金流量的正负号发生多次变化，计算IRR的 方程一定多个解吗？该项目能用IRR评价吗？
NPV ＝ f NCF t , n , i 0
式中 NCFt 和 n 由 市场因素和技术因 素决定。 若NCFt 和 n 已定， 则
NPV ＝ f
NPV
0
i 典型的NPV函数曲线
i0
基准折现率的确定
• 基准折现率的概念
基准折现率是净现值计算中反映资金时间价值 的基准参数，是导致投资行为发生所要求的最 低投资回报率，称为最低要求收益率。 （Minimum Attractive Rate of Return , MARR）
NPV 0
项目可接受； 项目不可接受。
净现值计算示例
年份 C It COt N C F t＝ C I t－ C O t （ 1 ＋ i）
－t －t －t
0
1 300
2 300
3 300
4 300
5 300
1000 -1000 1 -1000 300 0.9091 272.73 300 0.8264 247.93 300 0.7513 225.39 300 0.6830 204.90 -49.04 300 0.6209 186.28 137.24
由计算内部收益率的理论公式
若
n
CI
t0
CO
t 1 i


t
0
* 1

IRR i

令
CI
CO
t
at
1 i
x
可得 a 0 a1 x a 2 x 2 a n x n 0 从数学形式看，计算内部收益率的理论方程应 有n 个解。
项目投资回收模式
0 NCF0 F1 1 F2 2 F3 NCF2
t j
3
4
5 NCF5 NCF4
F4
NCF3
NCF1
Ft

j0
t
NCF
j
1 i
*
F t 1 1 i

*
NCF
t
上式中，NCFt 为第 t 年的净现金流量， Ft 为第 t 年项目内部未收回的投资。
非常规项目内部收益率的检验
非常规项目内部收益率的检验
令
Pt F t 1 i

* t



j0
t
NCF
j
1 i 1 i
* t j
* t

j0
t
NCF
j
1 i
* j
显然，Pt 是项目在第 t 年以 i * 为折现率的累计 净现金流量现值。由于(1＋ i *)－t 为正数，非常 规项目内部收益率通过检验的条件亦可表述为：
IRR i1
i 2
i1
＝ NPV
NPV
1
1 2
NPV
IRR ＝ i1
NPV NPV
1
1 2
NPV
i 2
i1
内部收益率计算示例
年 份 0 1 20
5
2 30
3 20
t
4 40
5 40
净 现 金 流 量 － 100
NPV
1
i1 i 2
10 %

t0
• 决定基准折现率要考虑的因素
– 资金成本
– 项目风险
现实成本 机会成本
（二）内部收益率（IRR）
• 内部收益率(Internal Rate of Return)是项目 现金流入量现值等于现金流出量现值时折 现率。其经济含义是在项目寿命期内项目 内部未收回投资每年的净收益率。 • 计算IRR的理论公式:
• 检验标准： 在项目寿命期内，项目内部始终存在未收回 的投资。即：能满足

t0
n
NCF
t
1 i

t
0
及
Ft i 0 * Fn i 0
*

t
1, 2 , , n 1
条件的 i* 就是项目唯一的IRR，否则就不是 项目的IRR，且这个项目也不再有其它具有 经济意义的IRR。
经济评价指标
投资效果分析指标
（一）净现值（Net Present Value, NPV）
计算公式： NPV
n n
CI
t0 t 0
CO
t 1 i 0
n
t
NPV

CI 1 i
t0
t
－ CO
t0
t
1 i 0
t
现金流入现值和
现金流出现值和
判断准则： NPV 0
NCF
t
1 0 . 1
10 . 16
NPV
2
15 %

t0
5
NCF
t
1 0 . 1
t
4 . 02
IRR 10 %
10 . 16 15 % 10 % 10 . 16 4 . 02
13 . 5 %
项目内部收益率的唯一性问题讨论
N C F t （ 1 ＋ i）
Σ N C F t （ 1 ＋ i）
-1000 -727.27 -479.34 -253.94
上例中 i =10% , NPV＝137.24 亦可列式计算： NPV＝－1000＋300×（P/A ，10％ ，5） ＝－1000＋300×3.791＝137.24
• 净现值函数
项目内部收益率的唯一性问题讨论
• 结论：
– 常规项目（净现金流量的正负号在项目寿命 期内仅有一次变化）IRR有唯一实数解。 – 非常规项目（净现金流量的正负号在项目寿 命期内有多次变化）计算IRR的方程可能但 不一定有多个实数解。 – 项目的IRR是唯一的，如果计算IRR的方程 有多个实数解，这些解都不是项目的IRR。 – 对非常规项目，须根据IRR的经济含义对计 算出的IRR进行检验，以确定是否能用IRR 评价该项目。
Pt i 0 * Pn i 0
*

t
1, 2 , , n 1
（三） 投资回收期
投资回收期（Pay back period , Pb）是兼顾项 目获利能力和项目风险的评价指标。 • 静态投资回收期 不考虑现金流折现，从项目投资之日算 起，用项目各年的净收入回收全部投资 所需要的时间。 • 动态投资回收期 不考虑现金流折现，回收全部投资所需 要的时间。
若
CI
t0
n
CO
t 1 i


t
0

IRR i

• 判断准则：
IRR i 0 项目可接受； IRR i 0 项目不可接受。
计算IRR的试算内插法
NPV
NPV1
NPV1＋| NPV2|
NPV1
IRR i1
IRR－i1i
NPV2
IRR计算公式：