第２章 模糊逻辑的数学基础
2.1.2 模糊集合 1. 模糊集合的定义 在现实世界中，有很多事物的分类边界是不分明的，或
者说是难以明确划分的。比如，将一群人划分为“高”和 “不高”两类，就不好硬性规定一个划分的标准。如果硬性 规定1.80 m以上的人算“高个子”，否则不算，那么两个本 来身高“基本一样”的人，例如一个身高1.80 m，另一个身 高1.79 m，按照上述划分个子的规定，却被认为一个“高”， 一个“不高”，这就有悖于常理，因为这两个人在任何人看 来都是“差不多高”。这种概念外延的不确定性称为模糊性。
1 , x A X A(x) 0 , x A
（2.1）
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扎德（L.A.Zadeh）提出一种表示集合的方法。例如， 小于10的数构成偶数集合A，可表示为
A010101010 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
以上表示方法为列举法，等号右边不表示分数之和， 各分数的分母表示集合中的元素，其分子表示该元素对于 集合A的特征函数。
第２章 模糊逻辑的数学基础
第２章 模糊逻辑的数学基础
2.1 模糊集合及其表示方法 2.2 模糊语言逻辑及其算子 2.3 模糊关系与模糊逻辑推理 2.4 解模糊判决方法
第２章 模糊逻辑的数学基础
2.1 模糊集合及其表示方法
2.1.1 经典集合 集合可以表达概念。符合某概念的对象的全体就构成此
概念的外延，一个概念所包含的那些区别于其他概念的全体 本质属性就是这概念的内涵。用集合论的观点来看，内涵是 集合的定义，外延就是组成集合的所有元素。一个概念的外 延就是一个集合。
第２章 模糊逻辑的数学基础 图2.1 “年轻”、“中年”、“老年”的隶属函数
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如果u1=30，u1对A的隶属度μA(u1)=0.75，这意味着30岁 的人属于“年轻”的程度是0.75。如果u2=40，u2既属于A集 合又属于B集合，μA(u2)=0.25，μB(u2)=0.50，这说明40岁的 人已不太年轻，比较接近中年，但属于中年的程度还不太大， 只有0.50。再比如u3=50，μB(u3)=1.00，这说明50岁正值中年， 但即将走向“老年”。对比普通集合，用阈值来划分三个年 龄段的方法，显然模糊集合能够比较准确、更加真实地描述 人们头脑中的原有概念，而用普通集合来描述模糊性概念反 而不准确、不真实，也可以说是粗糙的。
第２章 模糊逻辑的数学基础 当μF(u)的值域为{0，1}时，μF锐化成一个经典集合的特
征函数，模糊集合F便锐化成一个经典集合。由此不难看出， 经典集合是模糊集合的特殊形式，模糊集合是经典集合的概 念推广。
现在我们以人的年龄为论域，讨论“年轻”、“中年”、 “老年”这三个模糊集合的划分情况，分别用模糊集合A、 B、C来表示。它们的论域都是［1，100］，论域中的元素 是u，我们规定模糊集合A、B、C的隶属函数μA(u)、μB(u)、 μC(u)如图2.1所示。
（2.2）
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这个映射称为模糊集合 F~ 的隶属函数（Membership Function）。本书在不混淆的情况下的模糊集合F由隶属函数μF(u)来 表征，μF(u)的取值范围为闭区间［0，1］，μF(u)的大小反映 了u对于集合F的从属程度。μF(u)的值接近于1，表示u 从属于F的程度很高；μF(u)的值接近于0，表示u从属于F的程 度很低。可见，模糊集合完全由隶属函数所描述。
集合中的个体称为元素，通常用小写字母u、v表示； 集 合的全体又称为论域，通常用大写字母U、V表示； u∈U， 表示元素u在集合论域U内。一个集合如果由有限个元素 组成，则称为有限集合，不是有限集合的集合称为无限集合。 集合可以是连续的，也可以是离散的。
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在普通集合中，任何一个元素或个体与任何一个集合之 间的关系只有“属于”和“不属于”两种情况，两者必居其 一，而且只居其一，绝对不允许模棱两可。例如，“大于100 的自 然数”是一个清晰的概念，该概念的内涵和外延均是明确的。
1. 经典集合定义 依据一定的标准进行分类，可以把不同的事物归于这一 类，或不归于这一类。 集合是具有某种特定属性的对象的全体。
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2. 表示方法 （1） 列举法（适用于具有有限元素的集合）。 （2） 定义法（适用于具有很多元素而不能一一列举的集 合），用集合中元素的性质来描述，例如，所有奇数的集合 A={x|x为奇数}。 （3） 特征函数表示法，利用经典集合非此即彼的明晰性 来表示，例如某集合A，某元素x，其特征函数为
集在论域U上只包含一个点u0，且μF(u0)=1，则F就称为模糊 单点，即
F={u0∈U|μF(u0)=1}
（2.4）
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模糊单点的隶属函数如图2.2所示，它是位于u0 点的一条竖直的线段，线段的高度为1。模糊单点 也可以看成是一个普通的集合，它只包含一个点u0。
是指，对于论域（Universe of Discuss）U中的任意元素u∈U，
都指定了［0，1］闭区间中的某个数μF(u)∈［0，1］与之对 应，称为 u 对 F 的隶属度（Degree of Membership），通常将
模糊集合表示为 。这就F~ 定义了一个映射μF：
μF∶U→［0，1］ i→μF(u)
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由此可见，普通集合在表达概念方面有它的局限性。普
通集合只能表达“非此即彼”的概念，而不能表达“亦此亦彼”
的现象。为此，美国加州大学控制专家扎德（L.A.Zadeh）教
授创立了模糊集合论，提出用模糊集合来刻画模糊概念。
定义2.1 模糊集合（Fuzzy Sets）：论域U上的模糊集合F
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定义2.2 支集（Support）：模糊集合的支集是一个普
通集合，它是由论域U中满足μF(u)>0的所有u组成的，即
S={u∈U|μF(u)>0}
（2.3）
例如，在图2.1中，模糊集合B（“中年”）的支集是开
区间（35，60）。
定义2.3 模糊单点（Singleton）: 如果模糊集合F的支