2020-2021学年云南省、四川省、贵州省、西藏四省名校高三（上）第一次大联考数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合2{|20A x x x =--<，*}x N ∈，集合2{|}B x y log x ==，则集合AB 等于() A ．1 B ．[1，2) C ．{1} D ．{|1}x x 2．若(1)2z i i -=，则在复平面内z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，点M 在边CD 上运动，则MA MB 的最小值为() A ．1-B ．0C ．1D ．34．祖冲之是中国南北朝时期著名的数学家以及天文学家，其最伟大的贡献是将圆周率精确到小数点之后的七位，比欧洲早了近千年．为探究圆周率的计算，数学兴趣小组采用以下模型，在正三角形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估算圆周率π的值．正三角形的边长为4，若总豆子数1000n =，其中落在圆内的豆子数618m =，则估算圆周率π的值是（为方便计算3取1.70，π的值精确到0.01)( )A ．3.13B ．3.14C ．3.15D ．3.165．已知(0,)απ∈且满足7cos()cos()4418ππαα-+=-，则sin (α= )A 22B ．23C ．23- D ．136．已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若23A π=，2b =，且ABC∆3a 的值为( ) A ．12B ．8C ．22D ．237．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，O 坐标原点，以OF 直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O ，A 两点，且||2||OA AF =，则双曲线的离心率等于( )A 3B 5C ．32D 58．一个多面体的三视图如图所示，其正视图、侧视图都是全等的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则其表面积为( )A ．842+B ．12C ．1682+D ．1222+9．已知5log 2a =，2b ln =，23c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>10．众所周知，人类通常有4种血型：O 、A 、B 、AB ，又已知，4种血型O 、A 、B 、AB 的人数所占比分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，某一血型的人能输血给什么血型的人，是有严格规定的，而这条输血法则是生物学的一大成就．这些规则可以归结为4条：①X X -；②O X -；③X AB -；④不满足上述3条法则的任何关系式都是错误的(X 代表O 、A 、B 、AB 任一种血型）．按照规则，在不知道双方血型的情况下，一位供血者能为一位受血者正确输血的概率为( ) A ．0.5625 B ．0.4375 C ．0.4127D ．0.587311．已知实数x ，y 满足22log log y x x e y e --+<+，则下列结论一定正确的是( )A ．x y >B ．||0ln x y -<C ．|1|0ln x y -+>D ．|1|0ln y x -+>12．已知点A 是抛物线2:2(0)C x py p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，过A 作抛物线的一条切线，切点为P ，且满足||2PA =C 的方程为( ) A ．28x y =B ．24x y =C ．22x y =D ．2x y =二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13．若x ，y 满足约束条件202200x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪⎩，则2z x y =-的最大值为 ．14．6(x x的展开式的中间一项为 ． 15．在等腰三角形ABC 中，2AB AC ==，顶角为120︒，以底边BC 所在直线为轴旋转围成的封闭几何体内装有一球，则球的最大体积为 ．16．已知函数()sin cos2f x x x =，关于函数()y f x =有下列命题：①3()3f π= ②()f x 的图象关于点(2π，0)对称；③()f x 是周期为π的奇函数； ④()f x 的图象关于直线2x π=对称．其中正确的有 ．（填写所有你认为正确命题的序号） 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，且12a =，2a 是1a ，4a 的等比中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）当0d >时，求数列1(1)n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T ．18．（12分）西尼罗河病毒()WNV 是一种脑炎病毒，通常是由鸟类携带，经蚊子传播给人类．1999年810-月，美国纽约首次爆发了WNV 脑炎流行．在治疗上目前尚未有什么特效药可用，感染者需要采取输液及呼吸系统支持性疗法，有研究表明，大剂量的利巴韦林含片可抑制WNV 的复制，抑制其对细胞的致病作用．现某药企加大了利巴韦林含片的生产，为了使生产效率提高，该药企负责人收集了5组实验数据，得到利巴韦林的投入量x （千克）和利巴韦林含片产量y （百盒）的统计数据如表： 投入量x （千克） 1 2 3 4 5 产量y （百盒）1620232526由相关系数r 可以反映两个变量相关性的强弱，||[0.75r ∈，1]，认为两个变量相关性很强；||[0.3r ∈，0.75)，认为两个变量相关性一般；||[0r ∈，0.3)，认为两个变量相关性较弱．（1）计算相关系数r ，并判断变量x 、y 相关性强弱；（2）根据上表中的数据，建立y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+．为了使某组利巴韦林含片产量达到150百盒，估计该组应投入多少利巴韦林？ 参考数据：66025.69≈． 参考公式：相关系数12211()()()()nii i nniii i xx y y r xx yy ===--=--∑∑∑，线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，121()()ˆ()niii nii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-．51()()25i ii x x y y =--=∑． 19．（12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，且1112AB AA ==，E 是棱1AA 的中点，3EC =．（1）求证：平面1D EC ⊥平面EDC ； （2）求二面角11D EC B --的大小．20．（12分）已知1(1,0)F -，2(1,0)F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是C的上顶点，且直线2PF 的斜率为（1）求椭圆C 的方程；（2）过点2F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ．若1l 与C 交于A ，B 两点，2l 与C 交于D ，E 两点，求||||AB DE +的取值范围．21．（12分）已知函数1()2f x x klnx x=-+．（1）当3k =-时，求()f x 的极值；（2）若存在[1x ∈，]e ，使得3()kx f x x-<-成立，求实数k 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]。

22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线D 的参数方程为(2x tt y t =⎧⎨=-⎩为参数，)t R ∈．点(1,0)A -，点(1,0)B ，曲线E 上的任一点P 满足||1||3PA PB =．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线D 的普通方程和曲线E 的极坐标方程； （2）求点P 到曲线D 的距离的最大值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|31||3|f x x x a =-++，()()g x x f x =，2()53h x x x =--． （1）若()3f x 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）是否存在这样的实数a （其中1)a >-，使得[3a x ∀∈-，1]3，都有不等式()()g x h x 恒成立？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．2020-2021学年云南省、四川省、贵州省、西藏四省名校高三（上）第一次大联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合2{|20A x x x =--<，*}x N ∈，集合{|B x y =，则集合AB 等于() A ．1 B ．[1，2)C ．{1}D ．{|1}x x【思路分析】求解一元二次不等式化简集合A ，求出B ，然后直接利用交集运算得答案．【解析】：220(1)(2)0x x x x --<⇒+-<，12x ∴-<<，又*x N ∈，{1}A ∴=， y log =2log 0x ∴且0x >，1x ∴，即{|1}B x x =，{1}AB ∴=故选：C ．【归纳与总结】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题． 2．若(1)2z i i -=，则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【思路分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案．【解析】：由(1)2z i i -=，得22(1)11(1)(1)i i i z i i i i +===-+--+，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,1)-，所在象限为第二象限．故选：B ．【归纳与总结】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．在长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，点M 在边CD 上运动，则MA MB 的最小值为() A ．1-B ．0C ．1D【思路分析】可分别以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，然后可设(,1)M x ，[0x ∈，2]，然后可求出2(1)MA MB x =-，从而可得出MA MB 的最小值．【解析】：如图，以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则：(0,0)A ，(2,0)B ，又M 点在CD 上，设(,1)M x ，[0x ∈，2]，则(,1),(2,1)MA x MB x =--=--，∴2221(1)MA MB x x x =-+=-，当1x =时，MA MB 取最小值0．故选：B ．【归纳与总结】本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，向量坐标的数量积的运算，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于基础题． 4．祖冲之是中国南北朝时期著名的数学家以及天文学家，其最伟大的贡献是将圆周率精确到小数点之后的七位，比欧洲早了近千年．为探究圆周率的计算，数学兴趣小组采用以下模型，在正三角形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估算圆周率π的值．正三角形的边长为4，若总豆子数1000n =，其中落在圆内的豆子数618m =，则估算圆周率π的值是（为方便计算3取1.70，π的值精确到0.01)( )A ．3.13B ．3.14C ．3.15D ．3.16【思路分析】分别求出内切圆的面积和正三角形的面积求出就可以得出概率． 【解析】：由题意可得，等边三角形的高为3423=1423432S ∴=⨯⨯正三角形内切圆半径为高的13，即为12333⨯43S π∴=内切圆， 则46183100043S S π=内切圆正三角形， 则 3.1518 3.15π=≈ 故选：C ．【归纳与总结】本题考查圆周率π的估计值，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．已知(0,)απ∈且满足7cos()cos()4418ππαα-+=-，则sin (α= )A B ．23 C ．23- D ．13【思路分析】利用两角和与差的余弦函数公式，二倍角公式化简已知等式可得28sin 9α=，结合范围(0,)απ∈，即可求解sin α的值．【解析】：由题意可得：cos()cos()44ππαα-+)αααα=221(cos sin )2αα=- 21(12sin )2α=- 718=-， 可得：28sin 9α=，又(0,)απ∈，可得sin α=故选：A ．【归纳与总结】本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6．已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若23A π=，2b =，且ABC ∆a 的值为( ) A ．12B ．8C ．D ．【思路分析】由已知利用三角形的面积公式可求c 的值，进而根据余弦定理即可解得a 的值．【解析】：23A π=，2b =，且ABC ∆∴1sin 2b c A ⨯⨯⨯=122c ⨯⨯=∴解得2c =，又22212cos 448()122a b c bc A =+-=+-⨯-=，解得a =故选：D ．【归纳与总结】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，O 坐标原点，以OF 直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O ，A 两点，且||2||OA AF =，则双曲线的离心率等于( )A ．3B ．5C ．32D ．52【思路分析】以OF 直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O ，A 两点，且||2||OA AF =，可得12b a =，利用21()b e a =+，求出双曲线的离心率．【解析】：以OF 直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O ，A 两点，且||2||OA AF =，∴12b a =， 251()2b e a ∴=+=， 故选：D ．【归纳与总结】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．8．一个多面体的三视图如图所示，其正视图、侧视图都是全等的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则其表面积为( )A ．842+B ．12C ．1682+D ．1222+【思路分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可． 【解析】：由题意可知几何体的直观图如图：是倒放的四棱锥，1122222222284222S =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+表．故选：A ．【归纳与总结】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．9．已知5log 2a =，2b ln =，23c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．c b a >>【思路分析】可以得出110,122a b <<<<，并可得出223ln >，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．【解析】：12555101252log log log =<<=，121212lne ln lne =<<=，32322lne ln ==<=， b c a ∴>>．故选：C ．【归纳与总结】本题考查了对数的运算性质，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题．10．众所周知，人类通常有4种血型：O 、A 、B 、AB ，又已知，4种血型O 、A 、B 、AB 的人数所占比分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，某一血型的人能输血给什么血型的人，是有严格规定的，而这条输血法则是生物学的一大成就．这些规则可以归结为4条：①X X -；②O X -；③X AB -；④不满足上述3条法则的任何关系式都是错误的(X 代表O 、A 、B 、AB 任一种血型）．按照规则，在不知道双方血型的情况下，一位供血者能为一位受血者正确输血的概率为( ) A ．0.5625B ．0.4375C ．0.4127D ．0.5873【思路分析】分类讨论，根据互斥事件的概率公式即可求出．【解析】：①当供血者血型为O 型时，受血者为O 、A 、B 、AB 均可，故概率为10.41P =， ②当供血者血型为A 型时，受血者为A 、AB 均可，故概率为20.28(0.280.07)0.098P =⨯+=， ③当供血者血型为B 型时，受血者为B 、AB 均可，故概率为30.24(0.240.07)0.0744P =⨯+=，④当供血者血型为AB 型时，受血者为AB ，故概率为40.0070.070.0049P =⨯=， 故正确的输血概率为12340.5873P P P P P =+++=， 故选：D ．【归纳与总结】本题考查了概率公式的应用，以及生物学知识，属于基础题． 11．已知实数x ，y 满足22log log y x x e y e --+<+，则下列结论一定正确的是( ) A ．x y > B ．||0ln x y -< C ．|1|0ln x y -+> D ．|1|0ln y x -+>【思路分析】由题意利用函数的单调性，对数函数的性质，注意判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解析】：实数x ，y 满足22log log y x x e y e --+<+，则22log log x y x e y e ---<-， 再根据2()log x f x x e -=-为(0,)+∞上的增函数，x y ∴<， 11y x ∴-+>，|1|0ln y x ∴-+>，故选：D ．【归纳与总结】本题主要考查函数的单调性的应用，对数函数的性质，属于中档题． 12．已知点A 是抛物线2:2(0)C x py p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，过A 作抛物线的一条切线，切点为P，且满足||PA =C 的方程为( ) A ．28x y =B ．24x y =C ．22x y =D ．2x y =【思路分析】由已知可得A 的坐标，由此可得准线方程，再由点斜式方程设出直线方程，与抛物线方程联立，利用相切判别式等于0，求出直线斜率，再求出p 的值，进而可以求解．【解析】：据题意，点(0,)2p A -，抛物线准线方程为2py =-，切线斜率k 一定存在，设过点A 与抛物线相切的直线方程为2py kx =-，切点(p P x ，)p y ，由222p y kx x py⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得2220x pkx p -+=，△222440p k p =-=，解得1k =±，当1k =时，则2220x px p -+=，得p x p =，此时直线方程为2p y x =-，即22p p p py x =-=，由22()22p p p x y ++=，得1p =； 当1k =-时，同理可得1p =， 所以抛物线方程为：22x y =． 故选：C ．【归纳与总结】本题考查了直线与抛物线的位置关系，涉及了分类讨论，考查了学生的运算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分。