2012年现代控制理论考试试卷一、（10分，每小题1分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，（ √ ）1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。

（ √ ）2. 若系统的传递函数不存在零极点对消，则其任意的一个实现均为最小实现。

（ × ）3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。

（ √ ）4. 对线性定常系统x Ax =，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是一致的。

（ √ ）5.一个不稳定的系统，若其状态完全能控，则一定可以通过状态反馈使其稳定。

（ × ）6. 对一个系统，只能选取一组状态变量；（ √ ）7. 系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性，与系统的输入和输出无关；（ × ）8. 若传递函数1()()G s C sI A B -=-存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控且不能观的；（ × ）9. 若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的；（ × ）10. 状态反馈不改变系统的能控性和能观性。

二、已知下图电路，以电源电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压为输出量的输出方程。

（10分）解：（1）由电路原理得：112212111122211111L L c L L c c L L di R i u u dt L L L di R i u dt L L du i i dt c c=--+=-+=-222R L u R i =112211112221011000110L L L L c c R i i L L L R i i u L L u u cc⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦[]122200L R L c i u R i u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦二．（10分）图为R-L-C 电路，设u 为控制量，电感L 上的支路电流和电容C 上的电压2x 为状态变量，电容C 上的电压2x 为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程，并绘制状态变量图。

解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。

以电感L 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：12,L c i x u x ==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：22210R C x x L x ∙∙+-=1121()0R x C x L x u ∙∙++-=从上述两式可解出1x ∙，2x ∙，即可得到状态空间表达式如下：121121212()()R R x R R L R x R R C∙∙⎡-⎡⎤⎢+⎢⎥⎢=⎢⎥⎢-⎣⎦⎢+⎣121121221212()()11()()R R x R R L R R L u x R R C R R C ⎤⎡⎤⎥⎢⎥++⎡⎤⎥⎢⎥+⎢⎥⎥⎢⎥⎣⎦-⎥⎢⎥++⎦⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡21y y =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-211212110R R R R R R R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x +u R R R ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+2120三、（每小题10分共40分）基础题（1）试求32y y y u u --=+的一个对角规范型的最小实现。

（10分）232322()(1)(1)11111()2132(1)(2)2Y s s s s s s s U s s s s s s s s s s +-++-+-====++-+--+----…………4分 不妨令1()1()2X s U s s =-，2()1()1X s U s s -=+…………2分 于是有11222x x u x x u =+=--又12()()()1()()()X s X s Y s U s U s U s =++，所以12()()()()Y s U s X s X s =++，即有 12y u x x =++…………2分最终的对角规范型实现为1122122x x u x x u y x x u=+=--=++ 则系统的一个最小实现为：[]201, 11011u y ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦x x x +u …………2分（2）已知系统[]011, 12232u y ⎡⎤⎡⎤=+=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦x x x ，写出其对偶系统，判断该系统的能控性及其对偶系统的能观性。

（10分） 解答：021132u -⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦x x …………………………2分 []12y =x……………………………………2分[]562,323C rankU rank bAb rank -⎡⎤===⎢⎥-⎣⎦系统状态完全能控分3则对偶系统能观分（3）设系统为()()()1011, (0)0211t t u t x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦x x试求系统输入为单位阶跃信号时的状态响应（10分）。

解()200tt e t e --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Φ……………………………..…….……..3分()()0()(0)()d τt t t t u τ=+⎰x x B ΦΦ……….….……….……..3分()()2201010d τ110t t t t t ee e e ττ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰….……..2分 ()()220d τt t t t t e e e e ττ------⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰.……….…………………..…..1分()()()22211==111122t t t t t e e e e e -----⎡⎤+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++-⎢⎥⎣⎦⎣⎦………………..1分（4）已知系统 u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=110011 试将其化为能控标准型。

（10分） 解：1210c u ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1112201cu -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.……..2分 [][][]1111221122010101c p u -⎡⎤===-⎢⎥-⎣⎦.…….1分[][]11112122221100p p A ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦.……..1分11221112211,11P P --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦.……..2分 能控标准型为u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101010 .……..4分 四、设系统为[]1112223334441100101000,01400030500040x x x x x x u y x x x x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦试对系统进行能控性及能观测性分解，并求系统的传递函数。

（10分） 解：能控性分解：[]112233441234300050-1101,400-100000404010x x x x u x x x x x x y x x ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（分）能观测性分解：[]112233441234300050-1000,401-101000-404100x x x x u x x x x x x y x x ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（分）传递函数为4520()(2)33g s s s ⨯==++分五、试用李雅普诺夫第二法，判断系统0111x x ∙⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦的稳定性。

（10分）方法一：解： 21x x =∙212x x x --=∙原点=0e x 是系统的唯一平衡状态。

选取标准二次型函数为李雅普诺夫函数，即0)(2221>+=x x x v222122122112)(2222)(x x x x x x x x x x x v -=+-+=+=∙∙∙当01=x ，02=x 时， 0)(=∙x v ；当01≠x ，02=x 时，0)(=∙x v ，因此)(x v ∙为负半定。

根据判断，可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳定的。

另选一个李雅普诺夫函数，例如：[]1222121212232121()()2=1212x v x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦为正定，而)(2))(()(222122112121x x x x x x x x x x x v +-=++++=∙∙∙∙∙为负定的，且当x →∞，有()V x →∞。

即该系统在原点处是大范围渐进稳定。

方法二： 解：或设11122122p p P p p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 则由T A P PA I +=-得 1112111212221222010110111101p p p p p p p p --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 11111112222212221232120 122112p p p p p p p p p ⎧=⎪-=-⎧⎪⎪--=⇒=⎨⎨⎪⎪-=-⎩⎪=⎩111212223122112p p P pp ⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦11121112223135220 det det 012412p p P p p ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=>==>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦可知P 是正定的。

因此系统在原点处是大范围渐近稳定的 六、 （20分）线性定常系统的传函为()4()(2)(1)Y s s U s s s +=++ （1）实现状态反馈，将系统闭环的希望极点配置为()4,3--，求反馈阵K 。

（5分）（2）试设计极点为（-10,-10）全维状态观测器（5分）。

（3）绘制带观测器的状态反馈闭环系统的状态变量图（4分） （4）分析闭环前后系统的能控性和能观性（4分）注明：由于实现是不唯一的，本题的答案不唯一！其中一种答案为： 解：（1）2()44()(2)(1)32Y s s s U s s s s s ++==++++ 系统的能控标准型实现为：[]010,41231X X u y X ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦……1分 系统完全可控，则可以任意配置极点……1分 令状态反馈增益阵为[]12K k k =……1分 则有210123A BK k k ⎡⎤-=⎢⎥----⎣⎦，则状态反馈闭环特征多项式为 ()212(3)(2)I A BK k k λλλ--=++++又期望的闭环极点给出的特征多项式为：2(4)(3)712s s s s ++=++由2212(3)(2)712k k s s λλ++++=++可得到[]410K = (3)分（2）观测器的设计：由传递函数可知，原系统不存在零极点相消，系统状态完全能观，可以任意配置观测器的极点。