第零章 数学准备一 泰勒展开式1 二项式的展开()()()()()m 23m m-1m m-1m-2f x 1x 1mx+x x 23=+=+++！！2 一般函数的展开()()()()()()()()230000000f x f x f xf x f x x-x x-x x-x 123!''''''=++++！！特别:00x =时,()()()()()23f 0f 0f 0f x f 0123!x x x ''''''=++++！！3 二元函数的展开(x=y=0处)()()00f f f x y f 0x+y x y ⎛⎫∂∂=++ ⎪∂∂⎝⎭，22222000221f f f x 2xy+y 2x x y y ⎛⎫∂∂∂++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭！评注：以上方法多用于近似处理与平衡态处的非线性问题向线性问题的转化。
在理论力问题的简单处理中，一般只需近似到三阶以内。
二 常微分方程1 一阶非齐次常微分方程： ()()x x y+P y=Q通解：()()()P x dx P x dx y e c Q x e dx -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ 注：()()(),P x dxP x dx Q x e dx ⎰±⎰⎰积分时不带任意常数，()x Q 可为常数。
2 一个特殊二阶微分方程2y A y B =-+ 通解：()02B y=Kcos Ax+Aθ+注：0,K θ为由初始条件决定的常量 3 二阶非齐次常微分方程 ()x y ay by f ++=通解：*y y y =+；y 为对应齐次方程的特解，*y 为非齐次方程的一个特解。
非齐次方程的一个特解 （1） 对应齐次方程0y ay by ++=设x y e λ=得特征方程2a b 0λλ++=。
解出特解为1λ，2λ。
*若12R λλ≠∈则1x 1y e λ=，2x 2y e λ=；12x x 12y c e c e λλ=+*若12R λλ=∈则1x 1y e λ=，1x 2y xe λ=； 1x 12y e (c xc )λ=+*若12i λαβ=±则x 1y e cos x αβ=，x 2y e sin x αβ=；x 12y e (c cos x c sin x)αββ=+（2） 若()2000x f a x b x c =++为二次多项式*b 0≠时，可设*2y Ax Bx C =++ *b 0≠时，可设*32y Ax Bx Cx D =+++注：以上1c ,2c ,A,B,C,D 均为常数，由初始条件决定。
三 矢量1 矢量的标积x x y y z z A B=B A=A B cos =A B +A B +A B θ••注：常用于一矢量在一方向上的投影 2 矢量的矢积n xy z xyz i j k A B=-(B A)=A B sin e =A A A B B B θ⎛⎫⎪⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭x y z y z x x z x y y x (A B A B )i (A B A B )j (A B A B )k =-+-+-四 矩阵此处仅讨论用矩阵判断方程组解的分布情形。
111122133211222233311322333a x a x a x 0a x a x a x 0a x a x a x 0++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 令111213212223313233a a a D a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭*D=0时，方程组有非零解 *D ≠0时，方程只有零解第一章 牛顿力学的基本定律万丈高楼从地起。
整个力学大厦的地基将在此筑起，三百年的人类最高科学智慧结晶将飘来他的古朴与幽香。
此时矢量言语将尽显英雄本色，微积分更是风光占尽。
【要点分析与总结】 1 质点运动的描述（1） 直线坐标系r xi yj zkr xi yj zka r xi yj zkυυ=++==++===++（2） 平面极坐标系rr 2r r re re r e a (r r )e (r 2r )e θθυθθθθ==+=-++（3） 自然坐标系t2t ne v a e e υυυρ==+（4） 柱坐标系2t nzv a e e e e ze ρθυρυρρθ=+=++〈析〉 上述矢量顺序分别为：r k t n b z i,j,k;e ,e ,e ;e ,e ,e ;e ,e ,e .θρθ矢量微分：rk r k r kk k de e e e dt dee e e dt de e e 0dtθθθθθθθθ=⨯==⨯=-=⨯=（其它各矢量微分与此方法相同） 微分时一定要注意矢量顺序2 牛顿定律惯性定律的矢量表述22d rma m F dt==（1） 直角坐标系中x y z F mxF my F mz⎧=⎪=⎨⎪=⎩ （2） 极挫标系中2r kF m(r r )F m(r 2r )F 0θθθθ⎧=-⎪=+⎨⎪=⎩ （3） 自然坐标系中2n b F m F m F 0τυυρ=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩3 质点运动的基本定理 几个量的定义：动量 P m υ= 角动量 L r m r P υ=⨯=⨯ 冲量 21I P P =- 力矩 M r F =⨯ 冲量矩 21t 21t H I I Mdt =-=⎰动能 21T m 2υ=（1） 动量定理 dPF dt=ˆe方向上动量守恒：dPˆˆe F e 0dt== （2） 动量矩定理 dLM dt=（3） 动能定理 d dTF m dt dtυυυ==4机戒能守恒定理 T+V=E〈析〉势函数V: V V V dV dx dy dz F dr x y z ∂∂∂=++=-∂∂∂ V V VF (i j k)x y z∂∂∂=-++∂∂∂ 稳定平衡下的势函数：()0x x x dV 0dx==;()02x x x dV 0dx=>此时势能处极小处m V且能量满足M mV E 00E V E <<⎧⎪<∞⎨⎪<∞⎩质点再平衡点附近振动质点逃逸-质点逃逸+【解题演示】1 细杆OL 绕固定点O 以匀角速率ω转动，并推动小环C 在固定的钢丝AB 上滑动，O 点与钢丝间的垂直距离为d ，如图所示。
求小环的速度υ和加速度a 。
解：依几何关系知：x d tan θ=又因为：222d d x xi i i cos dωυωθ+===故：22222(d x )x a 2xx i i d d ωυω+===2 椭圆规尺AB 的两端点分别沿相互垂直的直线O χ与Oy 滑动，已知B 端以匀速c 运动，如图所示。
求椭圆规尺上M 点的轨道方程、速度及加速度的大小υ与α。
解：依题知：B y (b d)cos θ=+且：B y C (b d)sin θθ=-=-+ 得：C *(b d)sin θθ=+又因M 点位置：M M x bsin ,y d cos θθ== 故有：M M M x i |y j b cos i d sin j υθθθθ=+=-代入（*）式得：M bccot dci j b d b dθυ=-++即：υ=2M M 222bc bc a i i (b d)sin (b d)sin θυθθ==-=++ 3 一半径为r 的圆盘以匀角速率ω沿一直线滚动，如图所示。
求圆盘边上任意一点M 的速度υ和加速度a （以O 、M 点的连线与铅直线间的夹角θ表示）；并证明加速度矢量总是沿圆盘半径指向圆心。
解：设O 点坐标为（0Rt x ,R ω+）。
则M 点坐标为（0Rt x R sin ,R R cos ωθθ+++） 故：M M M x i y j (R R cos )i R υωωθ=+=+-222M M a R sin i R cos j R (sin i cos j)υωθωθωθθ==--=-+ 4一半径为r 的圆盘以匀角深度ω在一半经为R 的固定圆形槽内作无滑动地滚动，如图所示，求圆盘边上M 点的深度υ和加速度α（用参量θ，Ψ表示）。
解：依题知：rrR rR rθωϕ=-=---且O 点处：k r e cos()e sin()e θθϕθϕ=--- 则：M O O OM R rr r r r (R r)e re [(R r)cos()r]e (R r)sin()e θθϕθϕ'=+=-+=--+---MM r rr r r ()sin()e [(R r)cos()r]e (R r)()cos()e (R r)sin()e r sin()e r [1cos()]e θθθυϕθθϕθϕθϕθθϕθθϕωθϕωθϕ==--+--+----+--=--+--(){}r r r r 2r a r ()cos()e r sin()e r ()sin()e r [1cos()]e r cos()e r sin()e r e r r R r cos()e r sin()e R r θθθθυωϕθθϕωθθϕωϕθθϕωθθϕωϕθϕωϕθϕωθωθϕθϕ==----------=----=---+-⎡⎤⎣⎦-5 已知某质点的运动规律为：y=bt,at θ=,a 和b 都是非零常数。
（1）写处质点轨道的极坐标方程；（2）用极坐标表示出质点的速度υ和加速度a 。
解：()b 1y r sin bt aθθ===得：r b r csc e aθθ=()r 2b a sin a cos b 2r e ae a sin a sin θθθθθυθθ-==+ ()r b1cot e e sin θθθθθ=-+⎡⎤⎣⎦ 6 已知一质点运动时，经向和横向的速度分量分别是λr 和µθ，这里μ和λ是常数。
求出质点的加速度矢量a . 解：由题知：r re e θυλμθ=+ 且：r r,r λθμθ==故：r r a re r e e e θθυλλθμθμθθ==++- ()r r e (r )e θλμθθλμθ=-++222r (r )e ()e rrθμθμλμθλ=-++7 质点作平面运动，其速率保持为常量，证明质点的速度矢量与加速度矢量正交。
证明：设速度为e τυυ=。
则：22n n d a e e e dt τυυυρρ=+=由于e τ与n e 为正交矢量。
即得证。
8一质点沿心脏线r (1cos )κθ=+以恒定速率v 运动，求出质点的速度υ和加速度a .解：设()()r r re r e sin e 1cos re θθυθθκθθκθ=+=-++ 且有：()()222[sin ][1cos r]θκθθκθυ-++= 解得：2cos 2υθθκ=得：()r sin sin ,r cos 22θθθκθυθυ=-=-=则：r (sin e cos e )22θθθυυ=-+r r 11a cos e sin e sin e cos e 222222θθθθθθυθυθυθυθυ==----2r 3(e tan e )42θυθκ=-- 9已知质点按 t r e ,t αθβ==运动，分别求出质点加速度矢量的切向和法向分量，经向分量和横向分量。