第四部分图形的平移翻折与旋转4.1图形的平移例1 2015年泰安市中考第15题如图1，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2, 0），点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′B′A′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（）．A．（4，23）B．（3，33）C．（4，33）D．（3，23）图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“15泰安15”，拖动点A'运动的过程中，可以体验到，△A′OC保持等边三角形的形状．答案A．思路如下：如图2，当点B的坐标为（2, 0），点A的横坐标为1．当点A'的横坐标为3时，等边三角形A′OC的边长为6．在Rt△B′CD中，B′C＝4，所以DC＝2，B′D＝23．此时B′(4,23)．例2 2014年江西省中考第11题如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC方向平移2个单位后，得到△A′B′C′，联结A′C，则△A′B′C的周长为_______．动感体验请打开几何画板文件名“14江西11”，拖动点B′运动，可以体验到，△A′B′C′向右移动2个单位后，△A′B′C是等边三角形．答案12．4.2图形的翻折例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第18题如图1，在矩形ABCD中，AD＝15，点E在边DC上，联结AE，△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G．如果AD＝3GD，那么DE＝_____．图1动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定18”，拖动点E在DC上运动，可以体验到，△ADE与△AFE保持全等，△AMF与△FNE保持相似（如图2所示）．答案35．思路如下：如图2，过点F作AD的平行线交AB于M，交DC于N．因为AD＝15，当AD＝3GD时，MF＝AG＝10，FN＝GD＝5．在Rt△AMF中，AF＝AD＝15，MF＝10，所以AM＝55．设DE＝m，那么NE＝55m-．由△AMF∽△FNE，得AM FNMF NE=，即551055m=-．解得m＝35．图2例2 2014年上海市中考第18题如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB＝t，那么△EFG的周长为______________（用含t的代数式表示）．图1动感体验请打开几何画板文件名“14福州10”，拖动点F在AD上运动，可以体验到，当点C′、D′、B在同一条直线上时，直角三角形BCE的斜边BE等于直角边C′E的2倍，△BCE是30°角的直角三角形，此时△EFG是等边三角形（如图2）．答案23t．思路如下：如图2，等边三角形EFG的高＝AB＝t，计算得边长为23t．图24.3图形的旋转例1 2015年扬州市中考第17题如图1，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝6，BC＝4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，若点F是DE的中点，连接AF，则AF= ．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“15扬州17”，拖动点D绕着点C旋转，可以体验到，当旋转角为90°时，FH是△ECD的中位线，AF是直角三角形AHF的斜边．答案5．思路如下：如图2，作FH⊥AC于H．由于F是ED的中点，所以HF是△ECD的中位线，所以HF＝3．由于AE＝AC－EC＝6－4＝2，EH＝2，所以AH＝4．所以AF＝5．例2 2014年上海市黄浦区中考模拟第18题如图1，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AC上一点，且AD＝3，如果△ABD 绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，点D旋转至D'，那么线段DD'的长为．图1动感体验请打开几何画板文件名“14黄浦18”，拖动点B'绕点A逆时针旋转，可以体验到，两个等腰三角形ABB'与等腰三角形ADD'保持相似（如图2）．答案125．思路如下：如图3，由△ABC∽△ADD'，可得．5∶4＝3∶DD'．图2 图34.4三角形例1 2015年上海市长宁区中考模拟第18题如图1，△ABC≌△DEF（点A、B分别与点D、E对应），AB＝AC＝5，BC＝6．△ABC 固定不动，△DEF运动，并满足点E在BC边从B向C移动（点E不与B、C重合），DE 始终经过点A，EF与AC边交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE＝_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“15长宁18”，拖动点E在BC上运动，可以体验到，△AEM有三个时刻成为等腰三角形，其中一个时刻点E与点B重合．答案116或1．思路如下：设BE＝x．由△ABE∽△ECM，得AB EAEC ME=，即56EAx ME=-．等腰三角形AEM分三种情况讨论：①如图2，如果AE＝AM，那么△AEM∽△ABC．所以5566EAME x==-．解得x＝0，此时E、B重合，舍去．②如图3，当EA＝EM时，516EAx ME==-．解得x＝1．③如图4，当MA＝ME时，△MEA∽△ABC．所以6556EAME x==-．解得x＝116．图2 图3 图4例2 2014年泰州市中考第16题如图1，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ＝AE，则AP的长等于__________cm．图1动感体验请打开几何画板文件名“14泰州16”，拖动点P在AD上运动，观察度量值，可以体验到，存在两个时刻PQ＝AE．答案1或2．思路如下：如图2，当PQ＝AE时，可证PQ与AE互相垂直．在Rt△ADE中，由∠DAE＝30°，AD＝3，可得AE＝23．在Rt△APM中，由∠PAM＝30°，AM＝3，可得AP＝2．在图3中，∠ADF＝30°，当PQ＝DF时，DP＝2，所以AP＝1．图2 图34.5四边形例1 2015年安徽省中考第9题如图1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）．A．25B．35C．5 D．6图1动感体验请打开几何画板文件名“15安徽09”，拖动点E在AB上运动，可以体验到，当EF与AC垂直时，四边形EGFH是菱形（如图2）．答案C．思路如下：如图3，在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝4，所以AC＝45．由cos∠BAC＝AB AOAC AE=，得2545=．所以AE＝5．图2 图3例2 2014年广州市中考第8题将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2．当∠B＝60°时，如图2，AC等于（）．2；(B)2；(C) 6；2．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14广州08”，拖动点A绕着点B旋转，可以体验到，当∠B＝90°时，△ABC是等腰直角三角形；当∠B＝60°时，△ABC是等边三角形（如图3）．答案(A)．思路如下：4.6圆例1 2015年兰州市中考第15题如图1，⊙O的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A，B，C，D不重合），过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为__________．A. 4πB. 2πC. 6πD. 3π 图1动感体验请打开几何画板文件名“15兰州15”，拖动点P 在圆周上运动一周，可以体验到，当点P 沿着圆周转过45°时，点Q 走过的路径是圆心角为45°半径为1的一段弧．答案 A ．思路如下：如图2，四边形PMON 是矩形，对角线MN 与OP 互相平分且相等，因此点Q 是OP 的中点． 如图3，当∠DOP ＝45°时，'D Q 的长为121=84ππ⨯⨯．图2 图3例2 2014年温州市中考第16题如图1，在矩形ABCD 中，AD ＝8，E 是AB 边上一点，且AE ＝14AB ，⊙O 经过点E ，与边CD 所在直线相切于点G （∠GEB 为锐角），与边AB 所在直线相交于另一点F ，且EG ∶EF 5∶2．当边AD 或BC 所在的直线与⊙O 相切时，AB 的长是________．图1动感体验请打开几何画板文件名“14温州16”，拖动点B 运动，可以体验到，⊙O 的大小是确定的，⊙O 既可以与BC 相切（如图3），也可以与AD 相切（如图4）．答案 12或4．思路如下：如图2，在Rt △GEH 中，由GH ＝8，EG ∶EF ＝5∶2，可以得到EH ＝4．在Rt △OEH 中，设⊙O 的半径为r ，由勾股定理，得r2＝42＋(8－r)2．解得r ＝5． 设AE ＝x ，那么AB ＝4x ．如图3，当⊙O 与BC 相切时，HB ＝r ＝5．由AB ＝AE ＋EH ＋HB ，得4x ＝x ＋4＋5．解得x ＝3．此时AB ＝12．如图4，当⊙O 与AD 相切时，HA ＝r ＝5．由AE ＝AH －EH ，得x ＝5－4＝1．此时AB ＝4．图2 图3 图44.7函数图像的性质例1 2015年青岛市中考第8题如图1，正比例函数11y k x =的图像与反比例函数22k y x=的图像相交于A 、B 两点，其中点A 的横坐标为2，当y1＞y2时，x 的取值范围是（ ）．A ．x ＜－2或x ＞2B ． x ＜－2或0＜x ＜2C．－2＜x＜0或0＜x＜2 D．－2＜x＜0或x＞2图1动感体验请打开几何画板文件名“15青岛08”，拖动点D在x轴上运动，观察线段EF的两个端点E、F的位置关系，可以体验到，当－2＜x＜0或x＞2时，点E在点F的上方．答案D．如图2所示．图2例2 2014年苏州市中考第18题如图1，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，联结PA．设PA＝x，PB＝y，则(x－y)的最大值是_____．图1动感体验请打开几何画板文件名“14苏州18”，拖动点P 在圆上运动一周，可以体验到，AF 的长可以表示x －y ，点F 的轨迹象两叶新树丫，当AF 最大时，OF 与AF 垂直（如图2）．答案 2．思路如下：如图3，AC 为⊙O 的直径，联结PC ．由△ACP ∽△PAB ，得AC PA AP PB =，即8x x y =．所以218y x =． 因此2211(4)288x y x x x -=-=--+． 所以当x ＝4时，x －y 最大，最大值为2．图2 图3。