2
在tk, tk＋1内设定某种变化规律（Wilson-θ法、线性加 速度法） ，从而可根据tk时刻值，求得tk＋1时刻的值。 2. 线性加速度法，假定[tk-1 tk] 内的加速度满足下式：
t tk 1 x x( tk 1) [ x( tk ) x( t k 1 )] tk tk 1
t xk Ak 1 xk 6
Ak-1
2
t xk Bk 1 xk 2
将上两项代入运动方程
2 t t xk 2 Bk 1 2 xk 2 Ak 1 2 xk x gk 2 6
x(t ) 2 x(t ) x(t ) xg (t )
(ti 1 ) y(ti 1 )、y y(0.1) 0.05 弹性阶段 k (0.1) 60 求ti时刻的状态向量及增量 f s (0.1) k (0.1) y(0.1) 0.1488 （1）求ti时刻的状态向量 (0.1) 0.0744 P(0.1) 2.5 f D (0.1) c y y (ti ) y (ti 1 ) y (ti 1 ) (0.1) 1.4891 f I (0.1) P(0.1) f D (0.1) f s (0.1) 2.2768 ; y
(ti ) [ P(ti ) f D (ti ) f s (ti )] (0) 0.0744 y y 2. t=0.1s m ~ ~ (0.1) y (0) y (0) 0.0744 y(0.1) y(0) y(0) 0.00248 y P ( t ) 、 k （ti ) （2）求 i ~ 6 3 y(0.1) 0.05 弹性阶段 k (0.1) 60 k (t ) k (t ) m c(t )
(t ) 30y(t ) 3 y (t ) 0.05 (t ) y y
1. t=0
(0) 0; f s (0) ky(0) 0; f D (0) cy (0) 0; P(0) 0 计算步骤 y(0) 0; y 已知ti-1时刻的状态向量及 (ti 1 ) y(ti 1 )、y (0) 0 f I (0) f D (0) f s (0) P(0); y ~ 求ti时刻的状态向量及增量 .4 y (0) 0 k (0) 60; k (0) 60 947.4 1007 （1）求ti时刻的状态向量 ~ y ( 0 ) 0 P(0) 2.5; P(0) 2.5 y (ti ) y (ti 1 ) y (ti 1 ) ~ ~ (0) (ti ) y (ti 1 ) y (ti 1 ) y y 0 y(0) P(0) / k (0) 0.00248
受弯钢筋凝土构 件的滞回曲线
滞回模型：描述结构或 构件滞回关系的数学模 型。
双线性模型
双线性模型一般适 用于钢结构梁、柱、节 点域构件。 钢筋混凝土梁、柱、 墙等一般采用退化三线 性模型。
退化三线性模型
二、结构非弹性地震反应分析的逐步积分法
线加速度法
m
k c
cy ky(t ) P(t ) 运动方程 m y
(0) 0; f s (0) ky(0) 0; f D (0) cy (0) 0; P(0) 0 计算步骤 y(0) 0; y 已知ti-1时刻的状态向量及 (ti 1 ) y(ti 1 )、y (0) 0 f I (0) f D (0) f s (0) P(0); y ~ 求ti时刻的状态向量及增量 .4 y (0) 0 k (0) 60; k (0) 60 947.4 1007 （1）求ti时刻的状态向量 ~ y ( 0 ) 0 P(0) 2.5; P(0) 2.5 y (ti ) y (ti 1 ) y (ti 1 ) ~ ~ (0) (ti ) y (ti 1 ) y (ti 1 ) y y 0 y(0) P(0) / k (0) 0.00248
1 x k 1 x k 1 t x k 1 t 2 3
1 x k 1 t 2
Bk 1 xk 1
2 2 6 s 1 t t 2 1 0.05 6 0.1 0.1 2 1.09 6 6
t xk Ak 1 xk 6
2
s
(1 t
2 t 2
6
) xk ( x gk 2 Bk 1 2 Ak 1 )
1 xk ( x gk 2 Bk 1 2 Ak 1 ) s
（3.17)
[例题3.2] 已知单自由度体系质点质量为200t，抗侧 移刚度k＝7200KN/m，阻尼比 ＝0.05 ，地面运动加速 度记录如表所示，试用线性加速度法计算质点的位移、 速度、加速度及最大绝对加速度和最大水平地震作用 （计算步长取0.1s，计算至1.2s）。
1
2.5 4 3.5 2.5 1.5
(t ) 2 6 t ~ f s (0.1) k (0.1) y(0.1) 0.1488 (t ) 3 (t )] P (t ) P (t ) m[ y y t (0.1) 0.0744 P(0.1) 2.5 f D (0.1) c y t (t )] c ( t )[ 3 y ( t ) y (0.1) 1.4891 f I (0.1) P(0.1) f D (0.1) f s (0.1) 2.2768 ; y 2 P(t)(kN) （ti ) （3）求 y(ti )、y
x(t ) x( tk 1 ) x( tk 1 )( t tk 1 ) 1 1 x( tk ) x( tk 1 ) x( tk 1 )( t tk 1 )2 ( t tk 1 )3 2 6 tk tk 1
1 1 2 x k x k 1 x k 1 t x k 1 t ( x k x k 1 ) t 2 2 6 1 1 2 x k 1 x k 1 t x k 1 t x k t 2 3 6
3kN
1 0.5
fs
t T / 10 积分步长：
~ (t ) 4.637 (t )] P(t ) P(t ) 94.74y y
t(s) 0.05
0.1
0.8
y(m)
(t ) 30y(t ) 3 y (t ) 0.05 (t ) y y
2. t=0.1s (0.1) y (0) y (0) 0.0744 计算步骤 y(0.1) y(0) y(0) 0.00248 y 已知ti-1时刻的状态向量及
f I (t ) f D (t ) f s (t ) P(t )
P(t)
y(t)
线性问题： c、k为常数
f s / y k tg
c tg fD / y
非线性问题： c、k为非常数
fs
fD

fD
y(t )

(t ) y
fs
(t ) y
y(t )
1. t=0
t T / 10 积分步长：
k / m 60/1.529 6.264 1/s
T 2 / 1.003s; t 0.1s
~ 6 3 k (t ) k (t ) 2 1.529 k (t ) 947 .4kN/m 0.1 0.1
~ (t ) 4.637 (t )] P(t ) P(t ) 94.74y y
2
t xk Bk 1 xk 2
最大绝对加速度
Sa＝ x xg
ma x
＝ 544.03 0 ＝544.03cm s 2
最大水平地震作用力
Fmax＝Sa m＝544.03 102 200＝ 1088 kN
§3.6 结构非弹性地震反应分析
一、结构的非弹性性质 滞回曲线：结构或构件在反复荷载作用下的力与非弹 性变形间的关系曲线。
1 x k x k 1 x k 1 t ( x k x k 1 ) t 2 1 1 x k 1 x k 1 t x k t 2 2
Bk-1
t xk Bk 1 xk 2
在区间[tk-1 tk]内对 (3.16)式进行积分，得
在区间[tk-1 tk]内对上式进行积分，得
(3.15)
x(tk ) x(tk 1 ) t tk1 x(t )dt tk1 x(tk 1 )dt tk tk 1 tk1 (t tk 1 )dt ]
t t
(t tk 1 )2 1 x(t ) x( tk 1 ) x( tk 1 )( t tk 1 ) [ x( tk ) x( tk 1 )] (3.16) 2 tk tk 1
第3章 地震作用和结构抗震验算
3.5 地震反应数值分析方法
§3-5 (补充） 单自由度体系地震反应的数值计算
一、地面运动作用下的位移反应 代入 杜哈美积分中用 P( ) mx ( ) g t ( t ) P ( ) x( t ) e sin ( t )d 0 m
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1

1.2
108
207
300
200
95
0
-150
-198
-120
-18
0
0
[解]
自振频率
k m＝ 7200 200＝6
按下列公式进行迭代计算
1 xk ( x gk 2 Bk 1 2 Ak 1 ) s