课程作业
题目: 自旋轨道耦合的推导
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2014年11月8号
摘要：本文通过计算电子的进动动能得出自旋轨道耦合公式，并对课本中∆E ls=1
这个模糊的问题提出看法。
2
关键字:自旋-轨道耦合能；托马斯进动；
目录
1引言 (4)
2关于课本推导的讨论 (4)
3自旋同轨道相互作用推导 (5)
4参考文献 (7)
1 引言
在量子力学里，一个粒子因为自旋与轨道运动而产生的作用，称为自旋-轨道作用。
最著名的例子是电子能级的位移。
电子移动经过原子核的电场时，会产生电磁作用．电子的自旋与这电磁作用的耦合，形成了自旋-轨道作用。
谱线分裂实验明显地侦测到电子能级的位移，证实了自旋-轨道作用理论的正确性。
另外一个类似的例子是原子核壳层模型（shell model）能级的位移。
本文根据环形电流公式计算有效磁场来推导相互作用的公式。
2 关于课本推导的讨论
在原子物理学课本中130-131面对相互作用公式进行了推导。
推导思路是这样。
电子的自旋轨道耦合能一般都根据电磁学理论得出。
如图1设原子磁矩与磁场之间的夹角是θ。
则原子受力矩
使转向的方向，使θ减小。
若θ增加dθ，做功
力矩作功dA等于势能W的减小,
选取θ=π
2
,W=0则具有磁矩的原子在磁场中具有能量
由此得出, 自旋磁矩为s的电子在磁场中所具有的能量
但是电子磁矩是由于它具有轨道角动量。
电子磁矩在磁场中受力矩作用不是使磁矩转向磁场方向, 而是使电子的角动量绕磁场方向作拉摩尔进动, 使电子的动能发生变化。
这和磁性物体在磁场中具有势能的机制有根本区别。
另外考虑到参照系问题。
一般选取实验室坐标系, 在这里就是原子核或原子实, 严格来说应是质心坐标系。
但从原子核坐标系来看, 电子处只有静电场而无磁场, 所以无法用上式来计算∆E ls。
为了解决存在问题, 一般认为上式中的是在电子坐标系中所观察到的磁场, 也就是电子感受到由于其轨道运动产生的磁场, 即原子核绕电子运动所产生的磁场。
然后考虑到电子绕原子核旋转, 有一个加速度, 因此电子坐标系相对于原子核坐标系有一个托马斯进动。
由此可推得, 原子核坐标系中观察到的
电子处的磁场（等效磁场）应为应为1
2。
但这仍和原子核坐标系中在电子
处只观察到静电场的事实相矛盾。
有的认为, 由于“ 原子核和电子坐标系之间有个相对论时间差, 并依此修正。
或笼统指出, 按相对论处理, ∆E ls的值是上
式的1
2
这就造成的理解的困难。
另外根据参考文献四课本中的推导仍然有不严
谨的地方。
所以下边用的是另外一种推导方法。
3 自旋同轨道相互作用推导
计算电子作拉摩尔进动所引起的动能变化, 再由原子核坐标系中所观察到的电子的进动角速度, 最后给出自旋—轨道耦合能的计算式。
如图所示，电子绕原子核运动, 轨道角动量为，磁矩为。
电子绕核运动的动能为
在磁场中受力矩
作用, 使绕作拉摩尔进动, 进动角速度
方向与一致。
设与间的夹角为α，把分成两个分量：方向的分量，它和电子的轨道角速度φ同向或反向。
使电子沿轨道方向的角速
度增加（或减小）ωcosα。
垂直于的分量。
设电子至OA的距离
为d，该分量使电子获得垂直于轨道平面的线速度。
在这种情况下电子具有的动能为
由于进动, 电子的动能增量
由于在一般磁场中, 进动角速度比轨道运动角速度小得多，所以等式右边的第
二、第三项和第一项相比可以略去。
有
为电子的轨道角动量, P φ=mr 2
φ 。
推广用于自旋角动量, 可得电子自旋角动量作拉摩尔进动的动能，即自旋
—轨道耦合能为
式中
为电子的自旋角动量。
下面计算电子的进动角速度。
如图, 电子绕原
子实运动,Z ∗为原子实的有效电荷数(对原子核, Z ∗=
Z ) 。
对电子坐标系来说, 原子实绕电子运动, 在电子处
产生一个磁场。
原子实相对于电子的速度为, 和电子
绕原子实运动的速度大小相等, 方向相反。
由毕奥—萨伐尔定律得
为电子的轨道角动量。
电子的自旋角动量在该场中的拉摩尔进动角速度为
由于电子绕原子实运动, 有一个加速度
在原子实坐标系中将观察到电子坐标
系的坐标轴会发生进动托马斯进动, 由有关文献可知, 其角速度为
ωT
=
12C 2
aνcosβ
•
e
Z *
e -r v
αH
m
这样, 在原子实坐标系中观察到电子的进动角速度为
把上式代入得
从上面推导可以看出, 在原子实坐标系看来, 由于电子具有加速度, 引起电子
坐标系的进动, 使电子的进动角速度减少到原来的1
2
，而不是磁场变为1
2
（磁
场始终为零）。
根据量子力学知识
最后得到电子的自旋—轨道耦合能的计算为
其中为精细结构常数, 为里德伯常数。
5 参考文献
[1] 段炎平.自旋一轨道祸合表达式的推导[J]，苏州教育学院学报,1991,3
[2]褚圣麟.原子物理学[M]，高等教育出版社
[3]吴榕生. 用公式ESI=S.W推导自旋—轨道耦合能[J]，大学物理，1992，11
（11）：31-32.
[4]向智健.电子自旋一轨道耦合能量算符[J]，自然科学报，1988，2.。