Gc(s)] =
z-m∏(1-biz-1) i=1 v
G1(s)
∏i=1(1-aiz-1)
(4-34)
Gc(s)中不含有延迟环节时，m=1；当Gc(s)中有延迟环 节时，一般m>1。
G1(s)是G(z)中不包含单位圆外或圆上的零极点，以及 不包含z-m的部分
u
∏(1-biz-1)是广义对象在单位圆外和圆上的u个零点。
（一）物理上的可实现性
物理上的可实现性：指控制器当前的输出信号，只能 与当前时刻的输入信号，以前的输入信号和输出信号 有关，而与将来的输入信号无关。这就要求数字控制 器的z传递函数D(z)不能有z的正幂项。
D(z)的一般表达式为
D(z) = U(z)
E(z)
上式中，要求
= b0zm+ b1zm-1+…+ bm a0zn+ a1zn-1+…+ an
（4-3）
闭环系统的脉冲响应在n个采样周期后变为零，即系统在n拍后到达稳态。
对最少拍控制系统设计的要求：
1. 准确性要求
对典型的参考输入信号，在到达稳态后，系统在采样点的输出值能 准确跟踪输入信号，不存在静差。
2. 快速性要求
在各种使系统在有限拍内到达稳态的设计中，系统准确跟踪输入信 号所需的采样周期数应为最少。
得：
Φ(z)
U(z)=
R(z)
G(z)
(4-32) (4-33)
1. 如果被控对象G(z)的所有零极点都在单位圆内，那么系 统是稳定的。
2.如果G(z)有单位圆上和单位圆外的零极点，即G(z)和 U(z)含有不稳定的极点，则控制变量u的输出也将不稳 定。
（二）稳定性要求
由式(4-1)
C(z)
D(z)G(z)
D(z) = z-1(3-3z-1+ z-2 )
(1-z-1 )3
(4-26) (4-27)
G(z)(1-z-1)3
r(t) R(z)
1
1(t) 1-z-1
q Φe(z)
1 1- z-1
Tz-1
t
(1-z-1)2 2 (1-z-1 )2
1 2
t2
T2z-1(1+z-1) (1-z-1)3
3 (1-z-1 )3
3. 稳定性要求
数字控制器D(z)必须在物理上可以实现且闭环系统必须是稳定的。
本节内容
一、典型输入下最少拍系统的设计方法 二、最少拍控制器的可实现性和稳定性 三、最少拍快速有波纹系统设计的一般方
法 四、最少拍控制系统的局限性
一、典型输入下最少拍系统的设计方法
系统的误差传递函数Φe(z) 为
E(z)
A(z) E(z) = Φe(z) R(z) = Φe(z) (1-z-1)q
(4-9)
为使稳态误差为零， Φe(z)必须含有因子 (1-z-1)q，即
Φe(z) = 1-Φ(z) = (1-z-1)p F(z)
(4-10)
其中，p≥q，q为对应于典型输入函数R(z)中分母(1-z-1)q
因子的阶次。 F(z)是不包含零点z=1的z-1的多项式
小结：可实现性要求：
1. D(z)不能有z的正幂项
2. a0≠0
3. G(z)不能含有纯滞后z-p ，否则Φ (z) 必须含有z-p。
（二）稳定性要求
在最少拍系统中，不但要保证输出量在采样点上的稳 定，而且要保证控制变量收敛，方能使闭环系统在物 理上真正稳定。
由式(4-1)导出：
R(z) Φ (z) =U(z)G(z)=C(z)
n≥m
式(4-28)分子、分母同除zn，则
D(z) = U(z) = b0zm-n+ b1zm-n-1+…+ bm z-n
E(z)
a0+ a1z-1+…+ an z-n
(4-28) (4-29)
(4-30)
若n<m，则分子出现z的正幂项。
（一）物理上的可实现性
式母(中4-z2的8)多中项，式a0≠降0也了是一必阶要，的也。会因出为现若上a述0=情0，况相。当于分
Φ (z)
D(z) 最少拍数
z-1
z-1
G(z)(1-z-1)
T
z-1(2- z-2 )
2z-1- z-2
Байду номын сангаас
G(z)(1-z-1)2
2T
z-1(3-3z-1+ z-2 )
3z-1- 3z-2 +z-3 G(z)(1-z-1)3
3T
二、最少拍控制器的可实现性和稳定性
（一）物理上的可实现性 （二）稳定性要求
综合考虑系统的准确性、快速性和稳定性要求， 闭环脉冲传递函数Φ(z)必须选择为
u
Φ(z) = z-m [ ∏i=(11-biz-1)] (Φ0+ Φ1z-1 +…+ Φq+v-1z-q-v+1) (4-38)
式中：m为广义对象的瞬变滞后； 不稳定零点
(4-21)
c(0)=0，c(1)=0，c(2)=2T，c(3)=3T，c(4)=4T，…
输出序列为
c(t)
3
2
1
0
1T 2T 3T 4T
t
将式(4-13)、(4-14)代入式(4-2)有
z-1(2- z-2 ) D(z) = G(z)(1-z-1)2
(4-22)
3.单位加速度输入
r(t) =
1 2
(4-18) (4-19)
(4-20)
e(0)=0，e(1)=T，e(2)=e(3)…=0
说明系统只需两拍（两个采样周期），输出就能跟随输
入。此时 C(z)= Φ (z) R(z) = Tz-1(2z-1- z-2 )
(1-z-1 )2
2.单位速度输入
长除法得： = 2 Tz-2+3Tz-3+ 4Tz-4+……
t2
R(z)=
由式(4-11)、(4-12)，有
1 2
T2z-1(1+z-1) (1-z-1)3
即q=3
Φe(z) = (1-z-1 )3
(4-23)
即
Φ (z) E(z) =
= 1R(z)
Φe(z) Φe(z)
=3z-1- 3z-2 +z-3
= T2z-1+ T2z-2
2
2
(4-24) (4-25)
1
0 1T 2T 3T 4T
将式(4-13)、(4-14)代入式(4-2)有 z-1
D(z) = G(z)(1-z-1)
t (4-17)
2.单位速度输入
Tz-1
r(t) = t
R(z)=
由式(4-11)、(4-12)，有
(1-z-1)2
即q=2
Φe(z) = (1-z-1 )2 Φ (z) = 1- Φe(z) =2z-1- z-2 E(z) = R(z) Φe(z) =Tz-1 即 E(z) = 0+Tz-1 +0. z-2+0. z-3+……
一、典型输入下最少拍系统的设计方法
根据快速性要求，即，使系统的稳态误差尽快为
零，故必然有 p=q 且 F(z) =1 所以对典型的输入来说，有
Φe(z) = (1-z-1)q Φ (z) = 1- Φe(z) =1- (1-z-1)q 1. 单位阶跃输入 2. 单位速度输入 3. 单位加速度输入
(4-11) (4-12)
2.设定Φ(z)，把G(z)中所有单位圆上和圆外的零点作为自
己的零点 ，即 u
Φ(z) = [ ∏(1-biz-1)] F2(z) i=1
(4-36)
F2(z)是关于z-1的多项式，且不包含G(z)中不稳定零点bi。
则：
1
D(z) = z-m G1(z)
F2(z) F1(z)
(4-37)
三、最少拍快速有波纹系统设计的一般方法
e(0)=1，e(1)=e(2)=…=0
说明系统只需一拍（一个采样周期），输出就能跟随输
入。此时 C(z)= Φ (z) R(z) = z-1
1-z-1
(4-16)
1.单位阶跃输入
长除法得：C(z)=z-1 + z-2+ z-3+…… c(0)=0,c(1)=c(2)=c(3)=…=1
输出序列为 c(t)
第四章 数字控制器的直接设计
数字控制器的模拟化设计方法——间接设计法 优点：可充分运用工程设计者熟悉的各种连续系统的设
计方法和经验，将它移植到数字计算机上予以实现， 从而达到满意的控制效果。
缺点：采样周期必须足够小，除必须满足采样定理外，
还要求采样周期的变化对系统性能影响不大。
直接设计法：直接根据采样系统理论来设计数字控
Φ(z) =
=
R(z) 1+D(z)G(z)
能否用零极点对消的方法去掉G(z)不稳定的零极点？
结论：不能 1. D(z)不稳定。 移，辨识有误，对消实现不了。
2. 参数漂
解决办法：要使系统补偿成稳定的系统，必须在确定闭 环脉冲传递函数Φ(z) 时增加附加条件
1 Φ(z)
1 Φ(z)
D(z)=
=
G(z) 1- Φ(z)
1.单位阶跃输入
1
r(t) = 1(t) R(z)= 由式(4-11)、(4-12)，有
1-z-1
即q=1
Φe(z) = 1-z-1
(4-13)
Φ (z) = 1- Φe(z) = z-1 1
(4-14)
E(z) = R(z) Φe(z) = 1-z-1（1- z-1）=1 (4-15)