年的产值为a(1＋n%)12.
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第四章 指数函数与对数函数
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2．某种细菌经30分钟个数变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律
为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：时)，y表示繁殖后细菌总个
数 ， 则 k ＝ ____2_ln__2___ ， 经 过 5 小 时 ， 1 个 细 菌 通 过 繁 殖 个 数 变 为
题型一 指数函数模型的应用
例 1 2011年10月31日世界人口达到70亿，假设世界人口年增长率 为2.1‰，用英国经济学家马尔萨斯提出自然状态下的人口增长模型：y＝ y0ert预测什么时候世界人口会翻一番？
[分析] 解指数方程，要进行指对式互化．
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第四章 指数函数与对数函数
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知识点3 拟合函数模型问题 定量分析和研究实际问题时，要深入调查、研究、了解对象信息，
作出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子(也就是数学 模型)，然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题．这 个建立数学模型的全过程，就称为数学建模．根据收集的数据或给出的 数据画出散点图，然后选择函数模型，并求出函数解析式，再进行拟 合、比较，选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合)．
现有如下 5 个模拟函数： ①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x； ⑤y＝(12)x＋1.74. 请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应 选__④____(填序号)．
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第四章 指数函数与对数函数
[解析] 画出散点图如图所示：
指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
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知识点2 解函数应用题的基本思路与步骤 1．建立函数模型解决实际问题的基本思路
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2．建立拟合函数模型的一般流程 根据建立拟合函数模型的步骤， 我们用如图来表示建立拟合函数模型 的一般流程．
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基础自测
1．某厂2008年的产值为a万元，预计产值每年以n%的速度递增，则
第四章
指数函数与对数函数
4.5 函数应用(二)
4.5.3 函数模型的应用
必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
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必备知识·探新知
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基础知识 知识点1 指数函数与对数函数模型
[解析] 由 2011 年世界人口数据，பைடு நூலகம் y0＝70，r＝0.002 1 代入马尔萨 斯人口模型，得 y＝70e0.002 1t.
__1__0_2_4____.
[解析]
由题意知，当
t＝21时，y＝2，即
1
2＝e2
k，
∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2.
当 t＝2 时，y＝e2×5×ln 2＝210＝1 024.
即经过 5 小时，1 个细菌通过繁殖个数变为 1 024.
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1．建立拟合函数模型的步骤 (1)收集数据． (2)根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图． (3)根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型． (4)选择其中的几组数据求出函数模型． (5)将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实 际，若不符合实际，则返回步骤(3)，若符合实际，则进入下一步． (6)用所得函数模型解释实际问题．
该厂到2020年的产值(单位：万元)是( B )
A．a(1＋n%)13
B．a(1＋n%)12
C．a(1＋n%)11
D．a(1－n%)12
[解析] 2008年的产值为a万元，2009年的产值为a＋a·n%＝a(1＋
n%)，2010年的产值为a(1＋n%)＋a(1＋n%)·n%＝a(1＋n%)2，…，2020
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2．建立函数模型解决实际问题的解题步骤 某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为x，因变量为 y.它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际问题的答 案．具体解题步骤为： 第一步，审题，引进数学符号，建立数学模型．了解变量的含义， 若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定． 第二步，求解数学模型．利用数学知识，如函数的单调性、最值 等，对函数模型进行解答． 第三步，转译成实际问题的解．
3．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设 这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到___3_0_0__只．
[解析] 由题意，繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋ 1)，这种动物第1年有100只，
所以100＝alog2(1＋1)， 所以a＝100，
所以y＝100log2(x＋1)， 所以当x＝7时y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.
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4．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数
据：
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
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由图可知上述散点大致在函数y＝log2x上，故函数y＝log2x可以近似 地反映这些数据的规律．
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关键能力·攻重难
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题型探究