课题3.3垂径定理课型新授课年级九年级姓名单位邮箱教学目标1.经历探索圆的轴对称性、垂径定理及其逆定理的过程.2.理解圆的轴对称性、垂径定理及其逆定理，并会运用其解决有关问题．教学重点与难点重点探索圆的轴对称性、垂径定理及其逆定理的过程．难点运用垂径定理及其逆定理解决有关问题．教学过程一、激趣导入提出问题赵州桥主桥拱的半径是多少？问题赵州桥是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？二、自主合作，解决问题我们知道圆是一个特殊的图形，既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形，如图，AB是⊙O的一条弦.作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．(1)此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?(2)图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由．处理方式学生前后四人一组，分工合作，互相帮助，动手画圆、剪圆，按轴对称图形的探究方法探究，寻找活动过程中产生的直径、弦、弧等关系并总结.给学生留出充分的时间在小组内讨论、交流，教师要深入到小组中讨论、指导.我们组将这个图沿着直径CD折叠，发现AM与BM重合，∠CMA与∠CMB重合，∠DMA与∠DMB重合，AC⌒与BC⌒重合，AD⌒⌒重合，所以等量关系有:AM=BM, ∠CMA=∠CMB=900，与BD⌒=BC⌒，AD⌒=BD⌒．（板书）结合这个图∠DMA=∠DMB=900，AC形，该定理的符号语言如何叙述？垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧．设计意图在教师的引导下探究了垂径定理，并要求学生能快速、准确的将该定理的三种语言进行转化.教学时要鼓励学生用多种方法进行探讨，体会研究图形的多种方法．已知如图，AB是⊙O的一条弦.作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．求证AM=BM ，AC⌒ =BC ⌒ ，AD ⌒ =BD ⌒ 证明连接OA ，OB ， 则OA=OB ．在Rt △OAM 和Rt △OBM 中，∵OA=OB ，OM=OM ，∴Rt △OAM ≌Rt △OBM ．∴AM=BM,∠AOC=∠BOC.∴AC ⌒ =BC ⌒ AC ⌒ 与BC ⌒ .∵∠AOD=180°-∠AOC,∠BOD=180°-∠BOC∴∠AOD=∠BOD °.∴AD⌒ =BD ⌒ ． 处理方式引导学生有意识的归纳、总结证明的方法，通过充分交流，让所有学生都能够对解决问题的基本策略进行反思，体会解决这类问题的基本思路，形成个人的解决问题的风格．设计意图让学生理解证明的方法，培养学生熟练证明的能力，提高证明过程的准确性和推理的能力.借此培养学生合作意识.三、尝试成功，探究创新活动内容还是这个图形，如果我把条件稍微改变，你还能利用刚才的探究方法推导出一些新的结论吗？（多媒体出示）如图，AB 是⊙O 的一条弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于M．（1)此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?（2）你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由．处理方式类比刚才的探究垂径定理的方法，学生先独立思考，然后让学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识．完后教师在课件上展示解题思路，让学生明白平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，就得加上一个限制条件，那么该结论如何叙述？平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（板书）它和垂径定理有什么区别？设计意图在垂径定理的逆定理的环节的处理上，学生可以类比垂径定理的探讨方法，所以这里尽量的放给学生，并让学生再次体会研究图形的多种方法，教师此时只要起到辅助、提升的作用即可．想一想平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.如果该定理少了“不是直径”C四、展示汇报，反馈点拨活动内容例 1 如下图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD，点O是CD的圆心)，其中CD＝600m，E为CD上一点，且OE⌒CD，垂足为F，EF＝90m，求这段弯路的半径．处理方式让学生明白要求弯路的半径，连结OC，只要求出OC 的长便可以了．因为已知OE⌒CD，所以CF＝12CD＝300cm，OF＝OE－EF，此时就得到了一个Rt⌒CFO，解连结OC，设弯路的半径为rm，则OF＝(r－90)m，⌒OE⌒CD，⌒CF＝12CD＝12×600＝300(m)．据勾股定理，得OC2＝CF2＋OF2，即r2＝3002＋(r－90)2，解这个方程，得r＝545．⌒这段弯路的半径为545m．设计意图引导学生通过解决垂径定理在生活中的应用问题，感受解决此类问题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解.教师点评学生在黑板上的解答，讲解时注意强调学生容易出错的地方．学以致用活动内容赵州桥是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？处理方式学先让学生思考，完成练习后，再用课件展示图例,并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图通过这道题目对学生的掌握情况进行反馈，发现学生在解决这类问题是存在的不足之处，如果学生感觉到困难，可以进行小组讨论或者教师加以引导点拨．五、巩固训练，拓展提高1.在⊙O中，OC垂直于弦AB，AB = 8，OA = 5，则AC= ，OC = .2.在⊙O中，OC平分弦AB，AB = 16，OA = 10，则∠OCA = °，OC = .六、总结概括，整理知识A BCO┏A BCO┏通过本节课的学习，哪些是你记忆深刻的？本节课的学习值得思考的还有是什么？处理方式由学生进行课堂小结，要给学生充足的时间进行思考，得出结论后，再进行集体交流和课件展示.设计意图充分交流学习心得，可以从知识与技能，过程与方法，情感态度价值观等方面进行，有利于学生总结概括所学的知识，形成完整的知识体系，有利于学生相互交流，相互学习，达到共同提高的目的，有利于学生明确自身的优点与不足，便于今后扬长避短.七、达标测试，反馈纠正1．如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB.则下列结论错误．．的是（）A、AD BDB、AF=BFC、OF=CFD、∠DBC=90°2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为.3．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是.1题处理方式学生在学案上做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图在题目的设计上，我尽量的遵循由易到难、层次分明的原则．通过这3个题目达到落实新知的目的，又将知识进一步延伸，拓广学生的思维.七、布置作业，落实目标课本习题P76习题3.3 1，2板书设计学情分析1.学生心理特征进入初三，学生思维活跃，求知欲强，对探索问题充满好奇，在课堂上有互相竞争的渴望，相比以前，他们有一定的知识储备，但学习积极性有所减退，自我意识增强。
2.学生认知基础在学习本节之前，学生已经学习了《圆的基本概念》，明确了直径、弦等基本概念，会运用轴对称的性质解决问题，学习了勾股定理，具备了进一步学习《垂径定理》的基本能力.3.学生活动经验基础学生在之前的学习中，已明确了展示课的学习程序，并能利用学案，准备展示，变式训练，归纳方法，灵活运用，具备了学习活动的经验基础.效果分析（1）利用多媒体辅助教学我利用多媒体让学生观察圆的实物图片，充分让学生获得感性认识；在探究美时，我利用多媒体在动漫中演示图形的折叠过程；在徜徉美中，帮助学生利用感官理解图形及其变式的联系，在激发学生思维的同时，获得美的享受。
品味美时，我让学生上网查阅相关资料，利用网络平台加强学生对所学知识的理解, 拓宽学生视野，培养学生的创新能力。
（2）常规媒体仍起主导作用垂径定理及其问题的解答过程都在黑板上板书，充分展现数学知识的精彩发生、发展过程，充分地暴露学生认识中存在的问题和独特优胜之处。
因为数学是思维的体操，数学课是丰富多彩的动态生成而非僵硬不变的简单预设。
教材分析（1）教材的地位和作用本节选自北师版数学九年级第三章第三节，本节研究的是圆的轴对称性与垂径定理及简单应用，垂径定理既是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算、作图、证明提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。
因此，这节课无论在知识上，还是在对学生能力的培养及情感教育方面都起着十分重要的作用。
（2）教学重点、难点与关键本节课的教学重点是垂径定理及其应用。
由于垂径定理的题设与结论比较复杂，很容易混淆遗漏，所以，对垂径定理的题设与结论区分是难点之一；本节课的难点是对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法。
理解垂径定理的关键是圆的轴对称性。
评测练习1．如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB.则下列结论错误．．的是（）A、B、AF=BF C、OF=CF D、∠DBC=90°2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为.3．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是.教学反思垂径定理是初中阶段圆中有关计算方面比较重要的一节。
本节课主要经过了三个环节第一个环节是让学生体会圆是轴对称图形，每条经过圆心的直线都是它的对称轴，它有无数条对称轴。
第二个环节是让学生通过探究得出垂经定理的内容。
第三个环节是利用垂经定理解决有关方面的计算。
其中，第二个环节是本节课的重点，也是我这节课的一个亮点。
当然，整节课也有许多不足之处。
例如，在对垂经定理有关计算方面的安排上欠妥，具体表现在（1）把课本中赵州桥的问题作为第一个练习题让学生解决稍微偏难，应该先解决一些简单的类型题。
比如已知弦的长度和圆心到弦的距离，求圆的半径这类题，这样的话学生不但巩固了垂经定理，而且也能体会到成功的喜悦，等再处理赵州桥的问题就变成水到渠成的事情了。
（2）垂经定理中平分弦的证明过程尽量给学生留点时间让学生板书出来，这样可以防止学生缺少主动性，并且会有更多的学生参与到课堂中去。
（3）应该给学生渗透一些情感教育，让学生知道数学来源于生活，又应用于生活。
总之，在教学设计和课堂教学中应充分了解学生，研究学生，我们不仅要备教材，而且还要备学生。