关于期权定价模型期权定价问题的数学模型白秀琴杨宝玉（平顶山工业职业技术学院，基础部，河南平顶山467001）摘要：介绍了资产定价理论近十年来的发展状况和历史背景，阐述了期权定价的基本概念和基本假设的直观模型。

关键词：期权；套利；数学模型Mathematical Model of OPricing ModelBAI Xiu-qin,Yang Bao-yu(Pingdingshang Industrial College Of Technology,Pingdingshan,Henan,467001)Abstract: Introducing the historicalbackground of asset pricingtheory and the developmentduring the past 10years .Expounding theintuitive model of the basicconcept and the basicassumptions of optionpricingKey words: option arbitragemathematicai model金融数学是研究经济运行规律的一门新兴学科，是数学与金融学的交叉，建立数学模型是对金融理论和实践进行数量分析和研究的主要方法。

金融数学的几个主要理论是投资组合选择理论，资本资产定价理论，期权定价理论。

本文主要探讨期权定价理论的数学模型及应用。

一 、期权定价理论的基本思想及其发展期权是一种选择权，是其购买者在支付一定数额的期权费后，即拥有在某一特定时间内以某一确定的价格买卖某种特定商品契约的权利，但又无实施这种权利（即必须买进或卖出）的义务。

它按交易性质可分为看涨期权和看跌期权，前者赋予期权拥有者在未来按履约价格购买期权标的物权利，又称买入期权；后者赋予期权拥有者在未来履约价格售出期权标的物权利，又称为卖出期权。

期权按权利行使时间的不同，还可以分为欧式期权和美式期权，欧式期权只有在权利到期日才能履约交易，美式期权则在期权有效期内的任何时间都可以行使权利。

期权的交易由来已久，但金融期权到20世纪70年代才创立，并在80年代得到广泛应用。

1973年4月26日美国率先成立了芝加哥期权交易所，使期权合约在交割数额，交割月份以及交易程序等方面实现了标准化。

在标准化的期权合约中，只有期权的价格是唯一的变量，是交易双方在交易所内用公开竞价方式决定出来的。

而其余项目都是事先规定的。

因此，我们的问题就是如何确定期权的合理价格。

目前两个经典的期权定价模型是Black-Scholes 期权定价模型和Cox-Ross-Rubinstein 二项式期权定价公式。

尽管它们是针对不同状态而言的，但二者在本质上是完全一致的。

在讨论期权定价模型之前，我们先对金融价格行为进行分析。

二、金融价格行为资产价格的随机行为是金融经济学领域中的一个重要内容。

价格波动的合理解释在决定资产本身的均衡价格及衍生定价中起着重要的作用。

资产价格波动的经典假设，也是被广泛应用的一个假设是资产价格遵循一扩散过程，称其为几何布朗运动，即)()()()(t dB t S dt t S t dS σα+= （1） 其中，S(t)为t 时刻的资产价格，μ为飘移率，σ为资产价格的波动率，B(t)遵循一标准的维纳过程。

为说明问题的方便，下面我们引入Itô引理：设F(S,t)是关于S 两次连续可微，关于t 一次可微的函数，S(t)是满足随机微分方程（1）的扩散过程，则有以下随机变量函数的Itô微分公式dt F dS F dt F t S dF SS S t 221),(σ++= （2）Black-Scholes 期权定价模型的一个重要假设是资产价格遵循对数正态分布，即)(ln ),(t S t S F =。

将该式与（1）式同时代入（2）式，有)()()(ln 221t dB dt t S d σσα+-= （3） 从而有t t Z t S t S R σμ+=-=))1()(ln(（4）其中221σαμ-=，t R 为资产在t 期的收益率，)1,0(~)1()(N t B t B Z iidt --=。

在此过程下，),(~2σμN R t ，且对不同的时间是独立的。

令S(0)为0时刻的资产价格，有 ),(~))0()(ln(2t t N Z t S t S t σμσμ+= （5） 此刻),0(~t N Z t 。

三、 Black-Scholes 模型任何金融资产的合理价格是其预期价值，同样的原理适用于期权。

下面我们首先介绍Black-Scholes 模型的基本假设：（1） 没有交易费用和税负； （2） 无风险利率是常数； （3） 市场连续运作；（4） 股价是连续的，即不存在股价跳空； （5） 股票不派发现金股息； （6） 期权为欧式期权；（7） 股票可以卖空且不受惩罚，而且卖空者得到交易中的全部利益； （8） 市场不存在无风险套利机会。

在上述假设条件下，Black 和Scholes 推导出了看涨期权的定价模型，以股票为基础资产。

对看涨期权而言，其在到期日的价值为⎩⎨⎧>-≤=-=X S X S X S X S C T T T T T ,,0)0,m a x ( （6）其中T S 代表对应资产到期日的价格，X 代表期权的交割价格。

(7) )()()()()(0)(XB A dS S f X dS S f S dS S f X S dS S f C E XTT XT T T X TT T XT T T -=-=-+⋅=⎰⎰⎰⎰∞∞∞∞-令)ln(0S S Y T=，可知Y T e S S t t N Y 02,),(~=σμ，从而有(8) )(21)( 2121))(()(10)ln(02)ln(2)(0)ln(2)(0)ln(0102022122102222210220d Ne S d e eS ttt Y dY e t eS dYe t e S dY e S YS Y f e S dS S f S A rt tt t S Xt t S X tt t Y t t S X tt Y Y S X Y T Y XT T T ==--===⋅∂∂==⎰⎰⎰⎰⎰∞---+∞---+∞--∞-∞σσμξσμσσμσμσμξπσσμξσπσπ令其中221σμ+=r ，t t r XS d σσ})(){ln(22101++=。

(9))(})l n ({Pr })ln({Pr )}ln({Pr )()(200)ln(d N tt S Xt tY ob tt S Xt t Y ob S X Y ob dYY f dS S f B XS X T T =--<-=->-=>===⎰⎰∞∞σμσμσμσμ其中t t r XS d σσ})(){ln(22102-+=。

从而有期权的预期价值为 )()()(210d XN d N e S XB A C E rt T -=-= 将其贴现为现值即得期权的合理价格)()()(210d N Xe d N S e C E C rt rt T ---== （10）需要说明的是，r 不仅是221σμ+的简单表达式，它实际上是连续的复合零风险利率。

这并不奇怪，因为期权价值的确定并不依赖于投资者的偏好，即风险中性。

而风险中性的本质含义就是要求资产的终值要以该项资产的收益率为折现率计算现值。

因此以何种利率推导期权定价模型是无关紧要的，这里之所以选择无风险利率是因为较方便而已。

这样，自然要求有rt t T e eS S E ==+)(0221)(σμ，即221σμ+=r 。

四、 期权定价模型与无套利定价期权定价均衡模型基于对冲证券组合的思想。

投资者可建立期权与其标的股票的组合来保证确定报酬。

在均衡时，此确定报酬必须得到无风险利率。

期权的这一定价思想与无套利定价的思想是一致的。

所谓无套利定价就是说任何零投入的投资只能得到零回报，任何非零投入的投资，只能得到与该项投资的风险所对应的平均回报，而不能获得超额回报（超过与风险相当的报酬的利润）。

从Black-Scholes期权定价模型的推导中，不难看出期权定价本质上就是无套利定价。

作者简介：白秀琴（1965-），女，河南淇县人，平顶山工业职业技术学院副教授，主要从事金融数学的研究。

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