高 中 平 面 解 析 几 何 知 识 点 总 结一. 直线部分1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与 x轴相交的直线，如果把 x轴 绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 叫做直线的倾斜角 . 倾斜角[0,180) , 90 斜率不存在 .ky 2y 1( x 1x 2 ), k tan（2）直线的斜率： x 2 x 1．两点坐标为P 1( x 1, y 1 )、P 2 (x 2 , y 2 ).2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：yy 1k (xx 1 )(直线 l 过点P 1( x 1, y 1 )，且斜率为 k ) ．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x x 0 ．（2）斜截式： ykx b (b 为直线 l在 y 轴上的截距 ).y y 1 xx 1（3）两点式：y 2y 1x 2x1 (y1y2，x1x2).注：① 不能表示与 x轴和 y轴垂直的直线；② 方程形式为：(x 2x 1)( yy 1 ) ( y 2y 1 )( x x 1 )时，方程可以表示任意直线．xy（4）截距式： ab注：不能表示与过原点的直线．1（ a, b 分别为 x 轴 y 轴上的截距，且 a 0, b 0 ）．x轴垂直的直线，也不能表示与 y 轴垂直的直线，特别是不能表示（5）一般式：Ax By C( 其中 A 、 B 不同时为 0) ．yA x C kA一般式化为斜截式：BB，即，直线的斜率： B ．注：（ 1）已知直线纵截距 b，常设其方程为y kxb或 x 0 ．已知直线横截距x 0，常设其方程为x my x 0( 直线斜率 k 存在时， m为 k 的倒数 )或y 0．已知直线过点( x 0, y 0)，常设其方程为 y k( x x 0) y 0或 x x 0．（ 2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等 直线的斜率为 1或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数 直线的斜率为 1 或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等 直线的斜率为 1或直线过原点．4．两条直线的平行和垂直：（1）若 l 1 : y k 1 x b 1 ， l 2 : y k 2 xb 2 ，有① l 1// l2k 1k 2 , b 1b2；② l1l 2k 1k 21.（2）若 l 1: A 1x B 1y C10 ， l 2 : A 2 x B 2 y C 2，有① l 1// l2A 1B 2A 2B 1且A 1C 2A 2C1；② l1l 2A 1 A 2B 1 B 20 ．5．平面两点距离公式：（1）已知两点坐标 P (x , y ) 、 P ( x , y 2 ) ，则两点间距离 P P( x x 2 ) 2 ( y1y ) 2 ．1 11221 212（2） x轴上两点间距离：ABx BxA．x 0 x 1x 22y 1 y 2y 0（3）线段 P 1 P2 的中点是M (x 0 , y 0 )，则2．6．点到直线的距离公式：d Ax 0 By 0 C点 P(x 0 , y 0 ) 到直线 l ： Ax By C 0的距离：A 2B 2．7．两平行直线间的距离公式：dC 1 C 2A 2B 2两条平行直线 l 1： AxBy C 10， l 2： Ax By C 2的距离：．8．直线系方程：（1）平行直线系方程：① 直线y kxb中当斜率k 一定而 b变动时，表示平行直线系方程．② 与直线l : AxBy C0 平行的直线可表示为 AxByC10 ．③ 过点 P(x 0 , y 0 ) 与直线 l : AxBy C 0平行的直线可表示为：A(x x 0 ) B( y y 0 ) 0 ．（2）垂直直线系方程：① 与直线l : AxBy C垂直的直线可表示为BxAy C 10．② 过点 P(x 0 , y 0 ) 与直线 l : Ax By C 0垂直的直线可表示为：B(x x 0 ) A( y y 0 ) 0 ．（3）定点直线系方程：① 经过定点P 0(x 0, y 0 )的直线系方程为yyk ( xx 0 )(除直线x x),其中 k是待定的系数．② 经过定点P 0(x 0, y 0 )的直线系方程为A( xx 0 ) B( yy 0)0, 其中 A, B 是待定的系数．（4）共点直线系方程：经过两直线 l 1： A 1x B 1 y C 1 0， l 2： A 2 x B 2 y C 2交点的 直线系方程为A 1 xB 1 yC 1( A 2 x B 2 y C 2 ) 0( 除开l 2 ) ，其中λ是待定的系数．9．两条曲线的交点坐标：C 1 : f ( x, y) 0C 2 : g (x, y) 0f (x, y) 0曲线 与 的交点坐标方程组 g( x, y) 0 的解．10. 平面和空间直线参数方程：① 平面直线方程以向量形式给出：x ayb方向向量为s，下面推导参数方程：n 1n 2n 1n2② 空间直线方程也以向量形式给出：x ay b z b方向向量为s， ,n3下面推导参数方n 1n 2n 3n 1n 2程：注意：只有封闭曲线才会产生参数方程， 对于无限曲线， 例如二次函数一般不会有化为如上的参数方程。

二. 圆部分1．圆的方程：（1）圆的标准方程：( x a) 2( y b) 2 r 2 （r 0）．（2）圆的一般方程： x 2 y 2DxEy F 0(D 2 E 2 4F 0)．（3）圆的直径式方程： 若 A(x 1 , y 1 )， B( x 2 , y 2 )，以线段 AB 为直径的圆的方程是：(x x 1 )( x x 2 ) ( y y 1 )( y y 2 ) 0 ．(D E,)注： (1) 在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是22 ，r1 D 2E 2 4F2．（ 2）一般方程的特点：① x 2和 y 2的系数相同且不为零；② 没有xy项； ③ D 2E 24F 0（ 3）二元二次方程Ax2Bxy Cy2Dx Ey F表示圆的等价条件是：①AC0； ②B 0；③D 2E 2 4AF 0． 2．圆的弦长的求法：（1）几何法： 当直线和圆相交时，设弦长为 l ，弦心距为 d ，半径为 r ，则：“半弦长 2 +弦心距 2 =半径 2( l ) 2d 2 r 2”——2；（2）代数法： 设 l 的斜率为 k ， l 与圆交点分别为A( x 1, y 1)，B( x 2, y 2)，则|AB|1 k2| x Ax B |1 1y B |k2| yA（其中 | x 1x 2|, | y1 y2 |的求法是将直线和圆的方程联立消去y或 x，利用韦达定理求解） 3．点与圆的位置关系：点 P(x 0 , y 0 ) 与圆 (xa)2( y b) 2r 2 的位置关系有三种① P 在在圆外 dr(x 0 a) 2( y 0 b) 2r 2 ．② P 在在圆内dr( x 0 a) 2( y 0 b )2r 2．③ P 在在圆上 d r(x 0a) 2 ( y 0 b) 2 r 2 ．【 P 到圆心距离 d(a x 0 ) 2 (b y 0 )2 】4．直线与圆的位置关系：直线AxBy C0 与圆 ( xa) 2 ( y b)2r 2 的位置关系有三种 :dAa Bb CA 2B 2x（或y）后，圆心到直线距离为 d() ，由直线和圆联立方程组消去所得一元二次方程的判别式为．d r 相离 0 ； dr 相切 0 ； dr相交0 ．5．两圆位置关系 :设两圆圆心分别为O 1,O2，半径分别为r 1, r2，O 1O 2ddr 1 r 2外离4条公切线；dr 1 r 2内含无公切线 ；dr 1 r 2外切3条公切线 ；dr 1 r 2内切1条公切线；r 1 r 2dr 1 r 2相交2条公切线 ．6．圆系方程： x 2y 2 DxEy F0(D 2E 2 4F 0)（1）过直线l ：AxByC0 与圆 C : x2y2Dx Ey F的交点的圆系方程：x2y2DxEyF( Ax By C ) 0, λ是待定的系数．（2）过圆 C1 : x 2y 2D 1 xE 1 yF 10 与圆 C2 : x 2 y 2D 2 xE 2 yF 2 0 的交点的圆系方程：x2y2D 1xE 1 yF 1( x2y2D 2 xE 2 yF 2 ), λ是待定的系数．特别地，当1 时，x 2y2D 1xE 1 yF 1( x2y2D 2 xE 2yF 2) 0就是( D 1 D 2 )x ( E 1 E 2 ) y (F 1 F 2 )表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线． 7．圆的切线方程：（1）过圆 x 2y 2 r 2 上的点P( x 0, y 0 )的切线方程为 :x 0 xy 0 y r 2 ．（2）过圆 ( xa) 2( y b )2 r 2 上的点 P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为:( xa)( x 0 a) ( yb)( y 0 b)r 2 ．（3）当点 P( x 0, y 0 )在圆外时，可设切方程为 y y 0k( xx 0 )，利用圆心到直线距离等于半径，即dr，求出 k；或利用，求出 k．若求得 k只有一值，则还有一条斜率不存在的直线xx．8. 圆的参数方程：22圆方程参数方程源于：sincos122那么 （x a)( y b)122RR（ x a)设：R sin 得：xa Rsin（ y b)cosyb R cosR9．把两圆x 2y2D 1xE 1 yF 10 与 x2y2D 2 xE 2 yF 2方程相减即得相交弦所在直线方程 : ( D1D 2 ) x (E 1 E 2 ) y (F 1 F 2 ) 0 ．10．对称问题：（1）中心对称：① 点关于点对称：点A( x 1 , y 1 ) 关于 M ( x 0 , y 0 ) 的对称点 A(2x0 x 1 ,2 y 0y 1 )． ② 直线关于点对称：法 1：在直线上取两点，利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标，由两点式求直线方程．法 2：求出一个对称点，在利用 l 1 // l2 由点斜式得出直线方程． （2）轴对称：① 点关于直线对称：点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数，点与对称点的中点在直线上．AA ⊥ l · 1k A A k l 点 A 、A 关于直线 l 对称 AA 中点在 上AA 中点坐标满足 l 方程 ． l② 直线关于直线对称：（设 a, b 关于 l对称）法 1：若a, b相交，求出交点坐标， 并在直线 a上任取一点， 求该点关于直线 l的对称点．若 a // l ，则 b // l ，且a, b与 l 的距离相等．法 2：求出 a上两个点A, B关于 l的对称点，在由两点式求出直线的方程．（3）其他对称：点(a,b) 关于 x 轴对称： (a,-b) ； 关于 y 轴对称： (-a,b) ； 关于原点对称： (-a,-b) ；点(a,b) 关于直线 y=x 对称： (b,a) ； 关于 y=-x 对称： (-b,-a) ；关于 y =x+m 对称： (b-m 、 a+m)； 关于 y=-x+m 对称： (-b+m 、-a+m).11．若A(x 1, y 1)，B( x 2, y 2)，C ( x 3, y 3 )，则△ ABC 的重心 G 的坐标是x 1 x 2x 3 ，y 1 y 2 y 333．12．各种角的范围：直线的倾斜角180两条相交直线的夹角 0 90 两条异面线所成的角90三. 椭圆部分1. 椭圆定义：① 到两定点距离之和为一常数的平面几何曲线：即∣ MO1 ∣+∣MO2 ∣=2a② 或定义：任意一条线段，在线段中任取两点（不包括两端点），将线段两端点置于这两点处，用一个钉子将线段绷直旋转一周得到的平面几何曲线即为椭圆。