A 投资的收益和风险问题摘要：某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金，市场上有8个投资项目（如股票、债券、房地产、…）可供公司作投资选择。
其中项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。
对于第一问，我们建立了一个优化的线性规划模型，得到不错的结果。
根据我们的结果，我们认为五年末所得利润最大可为：37.94亿。
具体如何安排五年内的投资，可看下面的详细解答。
对于第二问，考虑独立投资各个项目的到期利润率时，通过分析，发现数据中存在着相互的联系。
由此，我们建立了一个统计回归模型: x5=a0+a1*x4+a2*x3+a3*x2+a4*x1+a5*x1^2+a6*x2^2+a7*x3^2+a8*x4^2经过代入数据检验，可以看出，模型数据与原20年内的实际数据拟合得很好。
通过这个模型，我们预测了今后5年各个项目的到期利润率。
如第一个项目今后五年的到期利润率为：第一年：0.1431 第二年：0.1601 第三年：0.0605 第四年：0.1816 第五年： 0.1572。
（其他几个项目的预测祥见下面的解答）考虑风险损失率时，我们定义起计算式为：f=d*p;d为该项目20年内的到期利润率的标准差，p为到期利润率；考虑相互影响各个项目的到期利润率时，我们在第一个模型的基础上建立一新的模型：x5=a10+a11*x4+a12*x3+a13*x2+a14*x1+a15*y5y5=a20+a21*y4+a22*y3+a23*y2+a24*y1+a25*x5(两个项目互相影响的模型)x5=a10+a11*x4+a12*x3+a13*x2+a14*x1+a15*y5+a16*z5y5=a20+a21*y4+a22*y3+a23*y2+a24*y1+a25*z5+a26*x5z5=a30+a31*z4+a32*z3+a33*z2+a34*z1+a35*x5+a37*y5(三个项目互相影响的模型)通过解方程组，我们可以预测出今后五年的到期利润率。
而且得到的结果也较为满意。
对与第三问，我们利用0-1变量，建立起一优化的线性规划模型。
关键词：线性规划，统计自回归模型，风险损失率，0-1变量法，数据拟合（一）问题一的提出项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。
公司财务分析人员给出一组实验数据，试根据实验数据确定5年内如何安排投资？使得第五年末所得利润最大？模型的建立和解决符号说明：Z: 利润Xij: 第i 年对第j 项目的投资额s.t. subject to，引出目标约束条件。
max z=1.8x27+1.45x35+1.5x36+1.55x38+1.25x43+1.27x44+1.1x51+1.11x52st2)x11+x12+x13+x14+x15+x16<=2000003)-0.1x11-0.11x12+x13+x14+x15+x16+x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27<=2000004)-0.1x11-0.11x12-0.25x13-0.27x14+x15+x16+0.1x21+0.11x22+x23+x24+x25+x26+x27+x3 1+x32+x33+x34+x35+x36+x38<=2000005)-0.1x11-0.11x12-0.25x13-0.27x14-0.45x15-0.5x16+0.1x21+0.11x22-0.25x23-0.27x24 +x25+x26+x27-0.1x31-0.11x32+x33+x34+x35+x36+x38+x41+x42+x43+x44<=2000006)-0.1x11-0.11x12-0.25x13-0.27x14-0.45x15-0.5x16+0.1x21+0.11x22-0.25x23-0.27x24 -0.45x25-0.5x26+x27-0.1x31-0.11x32-0.25x33-0.27x34+x35+x36+x38-0.1x41-0.11x42+x 51+x52<=2000007)x17=08)x18=09)x28=010)x37=011)x45=012)x46=013)x47=014)x48=015)x53=016)x54=017)x55=018)x56=019)x57=020)x58=021)x11<=6000022)x21<=6000023)x31<=6000024)x41<=6000025)x51<=6000026)x12<=3000027)x22<=3000028)x32<=3000031)x13<=4000032)x23<=4000033)x33<=4000034)x43<=4000035)x14<=3000036)x24<=3000037)x34<=3000038)x44<=3000039)x15<=3000040)x25<=3000041)x35<=3000042)x16<=2000043)x26<=2000044)x36<=2000045)x27<=4000046)x38<=30000(二)问题二的提出公司财务分析人员收集了8个项目近20年的投资额与到期利润数据，发现：在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。
8个项目独立投资的往年数据见表2。
同时对项目3和项目4投资的往年数据；同时对项目5和项目6投资的往年数据；同时对项目5、项目6和项目8投资的往年数据见表3。
(注：同时投资项目是指某年年初投资时同时投资的项目)试根据往年数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。
模型的建立和求解由于各项目的模型原理一样，所以只分析项目一的模型。
（1）独立投资的到期利润率画出数据的散点图我们认为，数据之间存在着一定的相互关系（制约或促进），由此我们提出一个线性自回归模型：x5=a0+a1*x4+a2*x3+a3*x2+a4*x1+a5*x1^2+a6*x2^2+a7*x3^2+a8*x4^2A0A1A2A3A4A5A6A7A8-0.11960.6650 1.3907 3.21080.2689-5.9827-7.2394-10.89880.0272x5=p(5:20);x1=p(4:19);x2=p(3:18);x3=p(2:17);x4=p(1:16);x=[x1' x2' x3' x4'];rstool(x,x5','purequadratic')在随后出现的图形界面中选择export->parameters，就可以得到各参数值。
模型检验：我们将实验数据代如模型中检验，并历史数据与模型数据的散点图，从图中可以很直观得看到，二者吻合程度很好。
数据预测：通过这个模型，我们可以预测今后五年的项目一的到期利润率。
预测方法如下，先将20年数据分成五组数据，但为了减少误差，可以采用隔点取点法。
然后代入模型中就可以得到五年后各年的到期利润率。
Matlab程序如下：function A=yuce(beta,p)for i=1:16u(i,:)=[1,p(i+3:-1:i),p(i+3:-1:i).^2];endA=u*beta;程序解释：beta为模型各系数，p为各年到期利润率。
预测结果如下：（包含其他项目的预测结果，但每个项目的模型具体不一样。
由于原理一样，就不赘述）预测项目一项目二项目三项目四项目五项目六项目七项目八第一年0.14310.17720.3030.34620.3228 1.40810.6655 3.3579第二年0.16010.20650.34270.2964 3.195 1.5788 4.9613 3.5422第三年0.06050.19890.18220.42160.2604-0.6392-6.6781-0.4447第四年0.18160.20130.58450.28240.2940.418513.5779-0.7797第五年0.15720.2230.38970.328-0.4977 1.004-10.0889 4.0387（2）独立投资的风险损失率：我们定义风险损失率的表达式为：f=d*p;其中f为风险损失率，d为标准差,当当年到期利润率>=0时，p=0,当到期利润率<0时，p=当年到期利润率的绝对值。
根据这个定义，我们可以得到各项目在各年的风险损失率。
如下：项目一项目二项目三项目四项目五项目六项目七项目八第一年0 0 0 0 0 0 0 0 第二年0 0 0 0 0 0 0 0 第三年0 0 0 0 0 0.5925 55.111 0.9601在独立投资到期利润率模型的基础上，我们考虑两个项目相互影响的模型。
（先考虑项目三四的模型，五六的模型相似，五六八的模型另做考虑）由题意理解可知，项目三数据既与以前的数据有关，也与项目四有关，项目四也是如此，所以我们提出一个自相关与相关回归模型。
x5=a10+a11*x4+a12*x3+a13*x2+a14*x1+a15*y5y5=a20+a21*y4+a22*y3+a23*y2+a24*y1+a25*x5模型解释： xi 对项目三的投资额Yi 对项目四的投资额Aij 项目三（四）的自相关系数A15 a25 项目三与项目四之间的相关系数模型求解x5=p(5:20);x1=p(4:19);x2=p(3:18);x3=p(2:17);x4=p(1:16)xt=[x1',x2',x3',x4',y5'];rstool(xt,x5','linear')y5=y(5:18);y1=y(4:17);y2=y(3:16);y3=y(2:15);y4=y(1:14);x5=x(5:18);yt=[y1',y2',y3',y4',z5'];rstool(zt,z5','linear')在随后出现的图形界面中选择export->parameters，就可以得到各参数值。