解析 π μ＝x＋ 6 x y＝cosμ 0 π － 6 1 π 2 2 π 6 0 π 5 π 6 －1 3 π 2 8 π 6 0 2π 11 π 6 1
描点作图(如图)．
例2
求下列函数的值域．
π π π (1)y＝3－2cos2x－3，x∈6，2；
(2)y＝－3sin
∴函数的值域为[1,4]． (2)y＝－3sin2x－4cosx＋4＝3cos2x－4cosx＋1.
π 2π 1 1 设t＝cosx，x∈3， 3 ，∴t∈－2，2.
∴y＝3t
2
1 1 －4t＋1在t∈－2，2时单调递减，
1 15 ∴当t＝－2时，ymax＝ 4 ，
π x＋ 2
的图象相同，
π 于是把正弦曲线向左平移 2 个单位就可以得到余弦函数的图 象． (2)余弦函数图象上有五个起关键作用的点，这五个点是
(0,1) 、π，0、 (π，－1) 、3π，0、 (2π，1)． 2 2
2．余弦函数的性质： (1)定义域为R，值域为 [－1,1] ，周期为2π.
)
答案 C
名师点拨 1.正弦曲线与余弦曲线的关系 把y＝sinx的图象向左平移 π 2 个单位就得到y＝cosx的图
象．这说明余弦曲线的形状和正弦曲线相同，只是位置不同而 已．学了余弦曲线以后，应在同一坐标系中，画出[0,2π]上的 正弦曲线和余弦曲线，标出两条曲线与坐标轴的交点坐标并观 察曲线，弄明白它们的相同点和不同点．抓住[0,2π]上这一周 期的曲线的区别，就不会将两条曲线混淆．
自测自评
π 1.下列函数中，在 0，2 上为增函数且以π为周期的函数是
(
) x A．y＝sin 2 C．y＝－cosx B．y＝sin2x D．y＝－cos2x
解析
π 由周期是π，可排除选项A、C，又y＝sin2x在 0，2
上是先增再减，故排除选项B，故选D.
4．“五点法”作图 利用“五点法”作y＝cosx，x∈[0,2π]的简图的关键仍然是 列表，其方法同用“五点法”作正弦函数图象一样．其中五个 点横坐标的确定方法与正弦曲线相同，纵坐标通过计算即可得 到．
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例1 剖析
1 用“五点法”作出函数y＝2cos2x的简图． 列表，描出五个关键点，用光滑曲线连接即可．
1 ∴y∈3，3.
规律技巧
求有关三角函数的值域问题要注意多方联系，
求普通函数值域的方法对三角函数仍然成立．
变式训练2
求下列函数的值域．
π π (1)y＝3cos2x－6，x∈4，π；
2．周期性 2π 函数y＝Acos(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的周期T＝|ω|. 3．单调性 余弦函数y＝cosx在每个单调区间上都具有单调性，但在 整个定义域上不是单调函数．y＝cosx的单调增区间表示为[(2k －1)π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈ Z)．正、余弦函数的单调区间表示的是一个个区间，而不是各 区间的并集．
答案 D
2．函数y＝|cosx|的一个单调递减区间为(
π π A.－4，4 π C.2，π π B.0，4
)
D．(π，2案 B
3．若函数f(x)＝cos 0，则ω的值为( 2 A. 5 C. 5 )
2
π 2π x－4cosx＋4，x∈3， 3 ；
2＋cosx (3)y＝ . 2－cosx 剖析 求解关于三角函数值域问题，主要涉及的方法有：
单调性法、换元法、配方法、正余弦函数的有界性等等．
解析
π π π 2 (1)∵6≤x≤2，∴0≤2x－3≤3π.
π 1 ∴－2≤cos2x－3≤1. π ∴1≤3－2cos2x－3≤4.
第一章 基本初等函数(Ⅱ)
1．3 三角函数的图象与性质
1．3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
第一课时
余弦函数的图象与性质
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 了解余弦函数与正弦函数图象之间的关系，并由余弦曲线 理解余弦函数的性质.
自学导航 1.余弦函数的图象 (1)余弦函数y＝cosx图象与函数y＝sin
π ωx－ 6
π 的最小正周期为 5 ，其中ω＞
5 B. 2 D. 10
解析
2π π ω ＝5，∴ω＝10.
答案
D
4．函数y＝sinx和y＝cosx都是增函数的一个区间是(
π A.－π，－2 π C.－2，0 π B.0，2 π D.2，π
(2)由诱导公式 cos(－x)＝cosx 可知，余弦函数是
偶函数 ，它的图象关于y轴对称．
(3)余弦函数的单调递增区间为(2kπ－π，2kπ)(k∈Z)，单调 递减区间为(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z).
思考探究 余弦曲线的对称中心和对称轴怎样表示？ 提示 (k∈Z).
π 对称中心 kπ＋2，0 (k∈Z)，对称轴为直线x＝kπ，
解析 列表 x 2x 1 cos2x 2 0 0 1 2 π 4 π 2 0 π 2 π 1 － 2 3 4π 3 2π 0 π 2π 1 2
描点绘图，如图所示．
变式训练1
用“五点法”作出函数y＝cos
π x＋ 6
，x∈
π 11 － ， π的简图． 6 6
1 15 1 1 当t＝2时，ymin＝－4.∴y∈－4， 4 .
2＋cosx －2－cosx＋4 4 (3)∵y＝ ＝ ＝ －1， 2－cosx 2－cosx 2－cosx
∵－1≤cosx≤1，∴1≤2－cosx≤3. 1 1 1 4 ∴ ≤ ≤1，∴ ≤ －1≤3. 3 2－cosx 3 2－cosx