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2．单元网格划分 在二维情况下，以三角形单元为例 网格划分就是把求解区域划分成有限个三角形。 具体要求是，三角形顶点连着顶点， 三角形三条边长或三个内角大小尽量接近。 图 显示了网格的一部分。 图 表示一个三角形的三个顶点，
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相应的待定常数为
u1, u2 , , un , unn
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以 n 表示基函数序列通项的序号， nn 表示总项数。 u 的近似解（试探函数）表示为
nn
u M n (x, y)un
n 1
在伽辽金加权余量法中，权函数序列：
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代入第二类边界条件，得
aM m ud bM md M m f d



（ m 1, 2, , nn ）
将近似函数（试探函数）代入，得
nn
aM m ( M nun )d bMmd Mm f d

n 1
Ae ，Re ， Reb
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单元系数矩阵和单元右端项的元素为
Ae,i, j (aNi N j )de


（ m 1, 2, , nn ）
以下为了书写方便，将 Mm (x, y) 写为 M m 。
对上述方程组应用格林公式，得
u
aM m

ud

M ma n d M m f d
（ m 1, 2, , nn ）
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根据运算规则，将先求和在积分变为线积分在求和，
进一步整理得方程组
nn
[(a M m Mnd)un ] M m f d bM md
n1


（ m 1, 2, , nn ）
观察等号左右各项，可知
这是关于 u1, u2 , , un , unn 的代数方程组。 将 u1,u2, ,un , unn 写成列向量，
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a 方程系数（表示材料参数），
u0 是第一类边界上已知位函数， b 是第二类边界上
已知场矢量的法向投影（表示边界上的源）。 设基函数序列为
M1(x, y), M 2 (x, y), , M n (x, y), , M nn (x, y)


（ m 1, 2, , nn ）
根据运算规则，将梯度运算移到求和运算之内，得
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nn
aM m ( M nun )d bM md Mm f d

n 1


（ m 1, 2, , nn ）
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n1, n2 , n3 按逆时针排列。
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3．单元系数矩阵和单元右端向量
进行离散化处理，
将整个区域的积分化为单元上的积分之和
ne
Am,n
(aM m M n )de
e1 e
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ne
Am,n
(aNi N j )de
e1 e
ne
neb
Rm
( Ni f )de
(bNi )de
e1 e
e 1 e
一次单元积分可以算出若干系数矩阵元素的单元贡献
和若干右端项元素的单元贡献
将其写成单元系数矩阵和单元右端向量
ne
neb
Rm
(M m f )de
(bM m )de
e1 e
e 1 e
式中， e 是单元编号， ne 华北电力大学电气与电子工程学院
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neb 是第二类边界上线段单元的总数。
在单元上，为将基函数、权函数更换为单元形状函数，
先将基函数和权函数表示为双重下标
ne
Am,n
(aM me,i M ne,j )de
e1 e
ne
neb
Rm
(M me ,i f )de
(bM me,i )de
e1 e
e 1 e
基函数和权函数可以用单元形状函数代替。表示为
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M1(x, y), M 2 (x, y), , M m (x, y), , Mnn (x, y)
以 m 表示权函数序列通项的序号， nn 表示总项数。
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代入伽辽金加权余量方程，得如下方程组
M m (x, y)(a2u)d M m (x, y) f d
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7.3 二维泊松方程的有限元法
1．二维泊松方程的伽辽金离散化
设位函数 u 满足泊松方程 a2u f
边界条件

u
1
u0
u
a n
2
b
式中， f 是已知函数（表示场源分布），
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方程组写成矩阵的形式
A{u} {R}
式中，系数矩阵和右端列向量元素表达式
Am,n a M m M nd
Rm M m f d bM md


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求和运算的下标是 n ， M m 的下标 m 与求和无关，
可以将 M m 拿到求和运算之内。整理后得
nn
[(aM m M n )un ]d bM md M m f d
n 1


（ m 1, 2, , nn ）
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