计算机图形学
三维投影变换大致分类如图所示。
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平行投影是将物体上所有点都沿着一组平行线投影到投影 平面，而透视投影是所有点沿着一组汇聚到一个称为投影中 心的位臵的线进行投影，两种方法如图所示。
投影平面 投影平面
(a)平行投影 图 5.26 平行和投影平面
(b)透视投影
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1．正平行投影变换 投影方向垂直于投影平面时称正平行投影。 （l）正投影变换 在工程上将三维坐标系OXYZ中的三个坐标平面分别为H 面（XOY平面）、V面（XOZ平面）和W面（YOZ平面）。如 图所示。
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所以，要求得一个三维实体在V面上的三视图，必须将 三维实体上各点分别乘以新的变换矩阵TV,TH,TW即：
1 0 TV 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 TH 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
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对正六面体进行正轴测投影变换如下图所示：
(a)空间立体图
(b)立体正轴测图
图 5.30 立体正轴测投影
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如图所示，进行轴测投影变换后，立体上原来的坐标轴 OX，OY，OZ 变 换 成 轴 测 图 上 轴 测 O′X′，O′Y′， O′Z′。下面我们讨论变换的轴向变形系数和轴间角。
1 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 cos90 sin90 0 0 sin90 cos90 1 0 0 0
0 0 0 1
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所谓正投影就是三维图形上各点分别向某一坐标平面作垂线 ，其垂足便称为该三维点投影点，将所有投影点按原三维图形 中点与点之间的对应关系一一连起来便得到了一平面图形，这 一平面图形称为三维图形在该平面上正投影。 如图所示。在V面上的投影图形称主视图，在H面上的投影图 形称俯视图，在W面上的投影图形称侧视图。
图 5.31 轴向变形系数和轴间角
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a．轴向变形系数 取三根坐标轴上的点，它们的齐次坐标分别为 A[l 0 0 1]，B［0 1 0 1］，C［0 0 1 1］， 对它们分别进行正轴测投影变换得：
cos si n A1 0 0 1 0 0 cos 0 si n si n x 'a
0 0 0 0 1
si n si n cos si n cos 0
0 0 0 1

y' a
z 'a
1 A'

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0 si n si n cos si n 0 cos si n B0 1 0 1 0 0 cos 0 0 0 si n 0 cos si n 1 x 'b
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④ 三视图
上面投影后的三面投影图仍位于空间，根据工程中 需要还须将V面，H面，和W面上得到的三个正投影以一 定方式展平在同一平面上而得到三个视图，习惯上是放 在V面上。
为了在V面上构成三视图，使V面上投影保持不变， 而使H面上正投影绕X轴逆转90˚到V面，为了防止与原V 面上投影发生拥挤现象，再让它向轴方向平移一段距离 n。同样，使w面上正投影绕Z轴正转90˚，再向轴方向移 一段距离l。

0

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A′,B′,C′分别位于轴测轴 O′X′, O′Y′, O′Z′
上，故各轴的轴向变形系数为：
O' A' x OA
x z 1
'2 b
'2 a
'2 a

cos2 si n2 si n2 si n2 cos2 si n2
O' B' x z y OB 1 O' C ' z z 'c cos OC
2 cos 2 cos 2 0


在 正 轴 测 投 影 变 换 中 一 般 90o , 即 cos2 0, ， cos 2 0 2 90
45
取
45
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将 45 代 入si n2 cos2 si n2 cos2 中 得 1 1 1 si n2 cos2 si n2 2 2 3 si n 3 3 取 将
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因此将绕Z轴旋转变换矩阵TZ，绕X轴旋转的变换矩阵 TX 和向V面作正投影的变换矩阵 TV 连乘，即得到正轴测变 换矩阵：
cos sin T正 TZ TX TV 0 0 cos 0 sin sin sin 0 cos sin 0 0 cos 0 0 0 0 0 cos 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 sin 0 0 1 0 cos sin 0 sin cos 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

y' z ' 1

变换后点A′坐标为：
x' x cos y sin ,
y' 0
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z ' ( x sin sin y cos sin ) z cos
将θ和φ值代入正轴测变换矩阵T正，再将立体顶点 位臵矩阵乘此变换矩阵T正，可获得立体顶点正轴测图位 臵矩阵，最后依次将各顶点连线，即可得到立体的正轴 测图。选用不同θ和φ值，可以产生不同的正轴测图。 工程中常用的有正等测图、正二测图。
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② 水平面（H面）投影俯视图变换 水平面投影是物体在XOY平面上投影，使物体的z坐标 都等于零，x和y坐标不变，其变换矩阵是：
1 0 TH 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
x
y z 1 TH x x' x , y' y
0 0 0 1 0 0 0 n
0 0 0 1
1 1 TW 0 l
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（2）正轴测投影变换 ①正轴测投影变换矩阵 若将空间立体绕某个投影面所包含的两个轴向旋转 ，再向该投影面作正投影，即可获得立体正轴测图。通 常选用V面（XOZ坐标平面）为轴测投影面，所以将立体 绕Z轴正向旋转θ角，再绕X轴反向旋转φ角，最后向V面 作正投影。
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再向轴方向移 使w面上正投影 一段距离l。 绕Z轴正转90˚ Z 以上立方体为例，V面 上投影保持不变 E H面上正投影绕X 轴逆转90˚到V面 X C D 为了防止与原V面上投影 Y 发生拥挤现象，再让它向 轴方向平移一段距离n。
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G
F H
变换矩阵为：
1 0 TV 0 0 1 0 TH 0 0
y 0 1 x' y' z' 1 z' 0
即
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③
侧面（ W面）投影侧视图变换 侧面投影是物体在YOZ平面上投影，使物体的x坐标 都等于零，y和z坐标不变，其变换矩阵是
0 0 0 0 0 1 0 0 TW 0 0 1 0 0 0 0 1 x y z 1 TW 0 y z 1 x' y' z' 1 即 x' 0, y' y z' z
cos90 sin90 sin90 cos90 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1
1 0 0 l
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
得出三视图除上述方法外，还可以先将立方体绕坐标轴 X（或Z）旋转90˚，再平移n(或l)，最后作正投影变换 。其实两种方法得到结果是一样。
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① 正面（V面）投影主视图变换 正面投影是物体在XOZ平面上的投影，使物体的y坐标 都等于零，x和z坐标不变，其变换矩阵是：
1 0 TV 0 0 x y 即 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 z 1 TV x 0 z 1 x' y' z' 1 x' x , y' 0 z' z
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对于立体上任一顶点A(x,y,z)正轴测变换投影结果为：
cos 0 sin sin 0 sin 0 cos sin 0 A T正 x y z 1 0 0 cos 0 0 0 0 1 x cos y sin 0 x sin sin y cos sin z cos 1 x'
z 'b
图 5.31 轴向变形系数和轴间角
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②正等测投影变换 正等测投影为三根轴上变形系数相等的正轴测投影，即 由此可得：
由 cos2 sin2 sin2 sin2 cos2 sin2 cos2 cos2 sin2 sin2 sin2 cos2 sin2 (cos2 sin2 ) sin2 (cos2 sin2 ) 0 cos 2 1 sin2 0 可得： 所以
C 0 0 x 'c
0 0 0 1

y' b
z 'b
0 1 1 cos y' c z 'c
1 B' cos si n 0 0
1 1 C'

0 0 0 0
si n si n cos si n cos 0
0 0 0 1
3516'
3516'
‘ 45， 3516