§1.3 频率与概率 （一）频率 定义 在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中， 事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数，比值nA/n称为事件 A发生的频率。并记为fn(A)。 由定义，易见频率具有下述性质：
1 0 ＃ fn ( A) 1;
2 fn (S ) = 1;
3 若A1 , A2 , f n ( A1 A2
2
表1-1 实验序号 n=5 nH fn(H) 2 3 1 5 1 0.2 0.6 0.2 1.0 0.2 n=50 nH fn(H) 22 25 21 25 24 0.44 0.50 0.42 0.50 0.48 n=500 nH fn(H) 251 249 256 253 251 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502
+ P( An ).
(3.2) 式得证。 性质ⅲ 设A,B是两个事件，若A⊂B,则有 P(B-A)=P(B)-P(A); (3.3) P(B)≥P(A). (3.4) 证 由A⊂B知，B=A∪(B-A),且A(B-A)=Ø,再由概率的有限可 加性（3.2），得 P(B)=P(A)+P(B-A), (3.3)得证；又由概率的非负性，P(B-A)≥0,知 P(B)≥P(A). 性质ⅳ 对于任意事件A， P(A)≤1.
P( A1 A2 ) = P( A1 ) + P( A2 ) + . (3.1) 由概率的定义，可以推得概率的一些重要性质。 性质ⅰ P(Ø )=0. ¥ 证 令An =? (n 1, 2,..), 则 An =破 ，且Ai A j = ,i ? j,
n= 1
i,j=1,2,...,由概率的列可加性（3.1）得
1 2 3 4 5
6
7 8
2
4 2
0.4
0.8 0.4
21
18 24
0.42
0.36 0.48
246
244 258
0.492
0.488 0.516
9
10
3
3
0.6
0.6
27
31
0.54
0.62
262
247
0.524
0.494
3
表1-2
试验者 德· 摩尔根
蒲丰
n 2048
4040
nH 1061
2048
7
ゥ
P(? )
P(
n= 1
An ) =
邋P( A ) =
n n= 1
?
P(? )
n= 1
由概率的非负性知，P(瞥 )
0, 故由上式知P(? )
0。
性质ⅱ （有限可加性）若A1,A2,…,An是两两互不相容的 事件，则有
P( A1
A2
An ) = P( A1 ) + P( A2 ) +
P( An ).
(3.2)
（3.2）式称为概率的有限可加性。 证 令An+ 1 =A n+ 2 = ... = 破 , 即有A i A j = ,i ? j,i,j=1,2,...,
由（3.1）得
ゥ
P(A1
A2
A n )=P(
k= 1
Ak )=邋P ( Ak ) =
k= 1
n
P ( Ak ) + 0
k= 1
8
= P( A1 ) + P( A2 ) +
6
件A赋予一个实数，记为P(A),称为事件A的概率，如果集合 函数P(·)满足下列条件： 1 非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0; 2 规范性： 对于必然事件S，有P(S)=1;
3 可列可加性： 若A1 , A2 , 即Ai A j =乒 ,i
, An是两两互不相容的事件，
j,i,j=1,2,...,有
字母
L D U C F M W
频率
0.039 4 0.038 9 0.028 0 0.026 8 0.025 6 0.024 4 0.021 4
字母
P B V K X J Q
频率
0.018 6 0.015 6 0.010 2 0.006 0 0.001 6 0.001 0 0.000 9
R
H
0.059 4
0.0573
T
G
0.020 2
0.018 7
Z
0.000 6
5
例2 考察英语中特定字母出现的频率，当观察字母的个数 N（试验次数）较小时，频率有较大幅度的随机波动。但当n增 大时，频率呈现出稳定性。表1-3就是一份英文字母频率的统计 表。（见教材） 大量实验证实，当重复试验的次数n逐渐增大时，频率fn(A) 呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数。这种“频率稳定性”即 通常所说的统计规律。我们让试验重复大量次数，计算频率 fn(A),以它来表征事件A发生可能性的大小是合适的。 但是，在实际中，我们不可能对每一个事件都做大量的试 验，然后求得事件的频率，用以表征事件发生可能性的大小。 同时，为了理论研究的需要，我们从频率的稳定性和频率的性 质得到启发，给出表征事件发生可能性大小的概率的定义。 （二）概率 定义 设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事
9
证 因A⊂S,由性质3，得 P(A)≤P(S)=1. 性质ⅴ （逆事件的概率）对于任一事件A有
P( A) = 1- P( A).
fn(H) 0.518
0.5069
皮尔逊
皮尔逊 维尼
12000
24000 30000
6019
12012 14994
0.5016
0.5005 0.4998
4
表1-3 字母 0.097 8 0.078 8 0.077 6 0.070 7 0.070 6 0.063 4
, An是两两互不相容的事件，则 An ) = f n ( A1 ) + f n ( A2 ) + + f n ( An ).
1
由于事件A发生的频率是它发生次数与试验次数的比，其
大小表示A发生的频繁程度，频率大，事件A发生就频繁， 这就意味着事件A 在一次试验中发生的可能性大，反之亦然。 因此，直观的想法是用频率来表示事件A在一次试验中发生的 可能性的大小，但是否可行，先看下面的例子。 例1 考虑 “抛硬币”这个试验，我们将一枚硬币抛5次，50 次，500次各做10遍，得到数据如表1-1.（其中nH表示H发生的 频数，fn(H)表示H发生的频率）。（见教材） 这种试验历史上有人做过，得到表1-2所示的数据（见教 材）。 从以上数据可以看出，抛硬币次数n较小时，频率fn(H)在 0与1之间随机波动，其幅度较大，但随着n的增大，频率 fn(H)呈现出稳定性，即当n逐渐增大时频率fn(H)总是在0.5 附近摆动，而逐渐稳定于0.5.