斯卢茨基方程
x x
x x
px px U常数 I
• 第二项是收入效应
– 如果x 是正常品, 那么x/I > 0
• 总收入效应是负的
– 如果x 是劣等品, 那么 x/I < 0
• 总收入效应是正的
斯卢茨基分解
• 我们可以利用柯布——道格拉斯效用函 数来说明价格效应的分解
• 商品 x 的马歇尔需求函数是
价格变化的数学考察
• 事实上, 我们可以利用间接的方法 • 回忆一下支出函数
最小支出 = E(px,py,U)
• 那么, 根据定义
xc (px,py,U) = x [px,py,E(px,py,U)] – 当收入恰好是获得所要求的效用需要满足的收
入的时候，两个需求函数的需求数量相等
价格变化的数学考察
.5
y
Vp
0.5 x
p
0 y
.5
• 需求现在依赖于效用 (V) 而不是收入
• px 的上升减少 x 的需求数量
– 仅仅是替代效应
价格变化的数学考察
• 我们的目标是考察商品 x 的购买数量如何 随着px 的变化而变化
x/px
• 对效用最大化的一阶条件求微分，可以获 得这个导数
• 不过, 这种方法很累赘，同时难以提供什么 经济含义
概括
• 效用最大化意味着 (对于正常品) 价格下降导 致需求数量上升
– 替代效应 引起消费者沿着无差异曲线运动，购买 量上升
– 收入效应 引起购买量增加，因为购买力的上升允 许消费者移向更高的无差异曲线
概括
• 效用最大化意味着 (对于正常品) 价格上升 导致需求数量下降
– 替代效应 引起消费者沿着无差异曲线运动，购 买量下降
x* = x(px,py,I)
y* = y(px,py,I)
• 价格和收入是外生的
– 消费者无法控制这些参数
齐次性
• 如果我们将价格和收入同时增加一倍, 最 优需求数量不会改变
– 预算约束没有变
xi* = di(p1,p2,…,pn,I) = di(tp1,tp2,…,tpn,tI)
• 单个消费者的需求函数对于所有价格和收 入是 零次齐次的
– px 上升￥1， 需要支出增加 ￥x – 额外的￥1必须支付给每一购买的 x
斯卢茨基方程
• 效用最大化假说表明来自于价格变化的替 代效应和收入效应可以表示为
x 替代效应 收入效应 px
x x
x
x
px px U常数 I
斯卢茨基方程
x x
x x
px px U常数 I
• 第一项是替代效应
– 如果 MRS 是递减的，那么总是负的 – 补偿需求曲线的斜率一定是负的
px’’ x
c x
x’’
x的数量
补偿和非补偿需求
px 如果价格高于 px2, 需要补偿的收入是正的，这因为消费者 需要帮助才能留在 U2
px’ px’’
x’
x*
x c x
x的数量
补偿和非补偿需求
px
如果价格水平 px2, 需要补偿的收入是负的以阻止因为价格下 降导致的效用上升
px’’
px’’’
x
x(px,py,I)0p.5xI
斯卢茨基分解
• 商品x 的希克斯 (补偿) 需求函数
xc(px,py,V)Vpx0py0.5.5
• 价格变化对于 x 需求的总效应是s
x 0.5I
px
px2
斯卢茨基分解
• 总效应是斯卢茨基识别的两种效应的总和 • 通过对补偿需求函数求导可以获得替代效
应
替 代 效 应 xc 0.5Vp0 y.5
c x
x***
x’’’
x的数量
补偿和非补偿需求
• 对于正常商品, 相对于非补偿需求曲线，补 偿需求曲线对于价格变化的反应较小
– 非补偿需求曲线反映了收Байду номын сангаас效应和替代效应 – 补偿需求曲线仅仅反映了替代效应
补偿需求函数
• 假设效用函数为
效用 = U(x,y) = x0.5y0.5
• 马歇尔需求函数是
x = I/2px
y = I/2py
• 间接效用函数是
效 用 V(I,px,py)2px0.I5p0 y.5
补偿需求函数
• 为了获得补偿需求函数, 我们从间接效用 函数中解出 I ，然后替换进马歇尔需求 函数
x
Vp
0.5 y
p
0 x
.5
y
Vp
0.5 x
p
0 y
.5
补偿需求函数
x
Vp
0.5 y
p
0 x
– 价格变化的效应被 “补偿了”，使得消费者还 是停留在同一条无差异曲线上
– 对于价格变化的反应仅仅包括替代效应
补偿需求曲线
• 补偿 (希克斯) 需求曲线 表示了一种商品价 格和购买数量之间的关系，此时假设其他 商品价格和效用水平不变
• 补偿需求曲线是补偿需求函数的二维表示
x* = xc(px,py,U)
x xc x E px px E px
• 第二项测量了 px 变化通过改变购买力所 影响的对x 的需求数量
– 收入效应的数学表示
斯卢茨基方程
• 替代效应可以写成
替代效应 xc x px px U常数
• 收入效应可以写成
收 入 效 应 x E x E
E px
I px
斯卢茨基方程
• 注意 E/px = x
如果 x 价格下降, 消费者在 B点获得最大效用
B A
x的总增加量
U2 U1
x的数量
y的数量
一种商品价格变化
为了分离出替代效应, 我们维持 “真实” 收入水平不便，但是允许 商品 x 的相对价格变化
替代效应是从A 点向C 点的运动
A
C
替代效应
消费者用商品 x 替代 商品 y，因为现在 商品x相对便宜
需求曲线的移动
• 沿着一条给定的需求曲线移动是因为这种 商品的价格发生了变化
– 需求量的变化
• 需求曲线的移动由收入、其他商品价格或 者偏好的变化所引起
– 需求的变化
需求函数和曲线
• 我们在前面发现
x* 0.3I px
y * 0.7I py
• 如果消费者的收入是 ￥100, 这些函数变 为
x * 30 px
– 收入效应 引起购买量下降，因为购买力的下降 导致消费者移向更低的无差异曲线
概括
• 效用最大化 (对于劣等品) 对于价格变化的 后果难以作出确定性的预测
– 替代效应和收入效应 移动方向相反 – 如果收入效应超过替代效应, 我们就会看到吉芬
悖论
消费者的需求曲线
• 一个消费者对于 x 的需求依赖于偏好、 所有商品价格和收入:
…x的需求 数量上升.
x’
x’’
x’’’
x
X的数量
消费者的需求曲线
• 消费者的需求曲线表示了一种商品的价格 和这种商品购买数量之间的关系，此时假 定其他影响需求的因素保持不变
需求曲线的移动
• 推导需求曲线的时候三个因素保持不变
– 收入 – 其他商品的价格 (py) – 消费者的偏好
• 如果上述任何一个因素变化了, 需求曲线 将会移动到新的位置
齐次性
• 考虑柯布－道格拉斯效用函数
效用 = U(x,y) = x0.3y0.7
需求函数是
x* 0.3I px
y * 0.7I py
• 可以观察到价格和收入全部翻番不会影响 x* 和 y*
齐次性
• 考虑 CES 效用函数 效用 = U(x,y) = x0.5 + y0.5
需求函数是
x* 1 I 1px /py px
• 在某个收入区间，商品xi 满足 xi/I 0， 这种商品是在这个区间的正常品。
• 在某个收入区间，商品xi 满足 xi/I < 0， 这种商品是在这个区间的劣等品。
一种商品价格变化
• 一种商品价格的变化改变预算约束线的 斜率
– 这也将会改变消费者效用最大化选择时候的 MRS
• 当价格变化的时候，产生两种效应
收入效应和替代效应
需求函数
• x1,x2,…,xn 的最优水平可以表示为所有商品 价格和收入的函数。
• 可以表示为 n 个这种形式的需求函数:
x1* = d1(p1,p2,…,pn,I) x2* = d2(p1,p2,…,pn,I)
• • xn* = dn(p1•,p2,…,pn,I)
需求函数
• 如果仅仅存在两种商品 (x 和 y), 我们可以 简化表达式
px
p1.5 x
斯卢茨基分解
• 我们可以带入间接效用函数 (V)
替 代 效 应 0 .5 (0 .5 Ip p x 1 x.0 5 .5p y 0 .5)p 0 y.5 0 p .2 x 2 5 I
斯卢茨基分解
• 收入效应的计算比较容易
收 入 效 应 x I x 0.p 5 xI 0 p .5 x0.p 2x 5 2I
y* 1 I 1py /px py
• 可以观察到价格和收入全部翻番不会影响 x* 和 y*
收入变化
• 收入增加会引起预算约束线向外平移。 • 因为 px/py 没有改变, 当消费者获得更高
满足水平的时候 MRS 保持不变。
收入增加
• 如果随着收入的增加，x 和 y 的消费量 增加, x 和 y 为正常商品
• 总效应方向不确定
– 当价格上升, 替代效应导致需求数量下降, 但是 收入效应相反
– 当价格下降, 替代效应导致需求数量上升, 但是 收入效应相反
吉芬悖论