(2) A为三对角的追赶法。
1、 Doolittle分解法和Crout 分解法 把一个n阶矩阵A分解成两个三角形矩阵相
乘的形式称为矩阵的三角分解。
矩阵三角分解的常见形式是：
A=LU，其中L为下三角阵，U为上三角阵。
作为特例，若L为单位下三角阵（对角元都是 1的下三角阵），U为上三角阵，则称为杜利特尔 （Doolittle）分解；
u1i (i 1, 2, , n) 与L的第1列元素 li1 (i 2,3, , n)
(b) 对k+2,3,…,n 按计算公式(3)，(4)依次计
算U的第k行元素 uki (i k, k 1, , n) 与L的第k列 元素 lik (i k 1, ,n;k n)
20 求解三角形方程组LY=b，即按计算公
3
等价的三角方程组为
12
3 3 2
3 7
2 16
x1
x2
x3
15
15
2
16
3
用回代法解得
x3 3, x2 2, x1 1
4 追赶法求解三对角线性方程组 在样条函数的计算，微分方程数值求解中常遇到
则存在唯一的杜利特尔分解A=LU，其中L 为单位下三角阵，U 为非奇异上三角阵。
还可以证明存在唯一的克劳特Crout分解
A LU
这里 L为非奇异下三角阵，U 为单位上三角阵。
如果A是一般非奇异阵，由列主消元法，A适
当行交换后，可使A的各阶顺序主子式det( Ak ) 0 ，
从而实现杜利特尔Doolittle或克劳特Crout分解。
(k 2,3, , n)
它与公式（3）相似。若将 b作为增广矩阵的最后
一列元素，那么对增广矩阵作LU分解， b 也作相应
运算，仍在最后一列，则分解后的最后一列即为 y 。
于是
k 1
ukj aki lkju ji j 1
(i k, k 1, , n, n 1)
例3：将方程组
12x1 3x2 3x3 15 18x1 3x2 x3 15 x1 2x2 x3 6 的系数矩阵作LU分解，并求方程组的解。
b1 bk
k 1
lkj y j
j 1
(k 2,3,
（5）
, n)
xn
xk
yn / unn (yk
n
ukj xj ) / ukk
j k 1
（6）
(k n 1,n 2, ,1)
杜利特尔矩阵分解 求解线性方程组的过程为: 10 实现A=LU分解，即
(a)按计算公式(1),(2)依次计算U的第1行元素
若 U 为单位上三角阵（对角元都是 1 的上三角
阵）， L为单位下三角阵,则称为克劳特(Crout)分解。
下面分析实现矩阵杜利特尔（Doolittle）分解和 克劳特（Crout）分解的条件,讨论这些分解的唯一性。
定理2 (矩阵三角分解基本定理) 设 A Rnn 。若 A 的顺序主子式
det( Ak ) 0, (k 1, 2, , n)
(i 2,3, , n)
得
u2i a2i l21u1i
(i 2,3, ,n)
由 ai2 li1u12 li2u22 得
（1）
li2 (ai2 li1u12 ) / u22 (i 3, 4, , n) （2）
第k步计算U的第k行L的第k列元素的公式为：
k 1
uki aki lkju ji j 1
解：增广矩阵为
12 3 3 15 18 3 1 15 1 2 1 6
12 3 3 15
LU分解的紧凑格式为
3
2
3
7
15
2 2 2
1
7
16
16
12 6 3
所以系数矩阵
的三角分解为
A
1 3
0 0 12 3 3
1 0 0
3
7
2
2 2
1
7
1 0
0
16
12 6
对那些明确是1或是0的元素不再求。
由矩阵乘法规则与相等条件,
利用 aij 在上述计算过程中，
导出计算 lij 或 uij 的公式。
例如
第一步 计算由 ai1 li1u11
得
u1i a1i
(i 1,2, , n)
第二步 计算由 a1i u1i
得
li1 ai1 / u11
由 a2i l21u1i u2i
杜利特尔Doolittle分解法
设方程组AX=b的系数矩阵的各阶顺序主子式
det(Ak ) 0, (k 1, 2, , n)，则存在唯一杜利特尔分解
A LU ，其中
1 l21 1 L l31 l32 1
u11 u12
U
u22
u1n
u2
n
ln1 ln2 ln3
1
unn
下面介绍直接根据A的元素计算L、U元素的分解方法 第一步 求U的第一行元素和L的第一列元素 第二步 求U的第二行元素和L的第二列元素......
(i k, k 1, , n) （3）
k 1
lik (aik liju jk ) / ukk j 1
(i k 1, , n; k n) （4）
在我们利用杜利特尔矩阵分解解线性方程 组AX=b时,只要实现矩阵分解A=LU,依次解三角 形方程组LY=b与UX=Y即可。
计算公式：
y1
yk
li,k 1
lik
ln,k 1
lnk
1步 2步 … k-1步 k步
u1 j u2 j uk 1, j ukj
…
u1n
u2n
பைடு நூலகம்
uk 1,n
ukn
unn
n步
在解方程组时，对右端项 b 也可不必经过中间过
程而按紧凑格式的方法直接得出 y， 因为 Ly=b ，
所以
y1 b1
k 1
yk bk lkq yq q1
式(5)依次计算 y1, y2 , , yn
30 求解三角形方程组UX=Y，即按计算公
式(6)依次计算 xn , xn1, , x1
为便于记忆，我们给出L、U分解紧凑格式:
u11 u12
l21
u22
A
lk1
lk 2
li1 li2
ln1 ln2
u1k u2k
lk ,k 1
uk 1,k ukk lk 1,k
§2 直接三角分解法
三角分解法也是直接法，基本思想是： 将系数矩阵A分解为两个三角形矩阵L和U的 乘积A=LU ，将方程组AX=b的求解问题归结为 两个三角形方程组 LY=b与UX=Y的求解问题。
即：先由LY=b求出Y ，然后由UX=Y求出X ， 从而获得AX=b的解。
(1) A为一般稠密（零元素占很小比例）矩阵 的杜利特尔(Doolittlr)和克劳特(Crout)分解法；