2019-2020学年山东省寿光现代中学高三上学期开学考试 数学（理）说明:本试卷满分150分,考试用时120分钟一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数的共轭复数是（ ） A.－iB.－C.D.2．用反证法证明“a ，b ，c 中至少有一个大于0”，下列假设正确的是（ ） A ．假设a ，b ，c 都小于0 B ．假设a ，b ，c 都大于0C ．假设a ，b ，c 中都不大于0D ．假设a ，b ，c 中至多有一个大于03．已知随机变量服从正态分布,若,则 =（ ）A.0.477B.0.625C.0.954D.0.977 4.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A. 1y x =+ B. 2y x =- C. 1y x=D. ||y x x = 5. 集合{}21|<≤-=x x A ，{}a x x B <=|，若φ≠B A ，则a 的取值范围是( )A.2<aB.2->aC.1->aD.21≤<-a 6. 定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()2121f x f x x x --<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)7. 命题：“若220a b +=（a , b ∈R ），则a=b=0”的逆否命题是 （ ）A ．若a ≠b ≠0（a , b ∈R ），则22a b +≠0 B.若a=b ≠0（a , b ∈R ），则22a b +≠0 C ．若a ≠0且b ≠0（a,b ∈R ），则22a b +≠0 D.若a ≠0或b ≠0（a,b ∈R ），则22a b +≠08. 已知函数2)(xx e e x f --=，则下列判断中正确的是( )A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数i25+31035-i 31035+2i +2i -X 2(0)N σ，(2)0.023PX >=(22)P X -≤≤9.若函数y =x 2-3x -4的定义域为［0,m ］，值域为［-425,-4］，则m 的取值范围是( ) A.(0,]4 B.［23,4］ C.［23,3］ D.［23,+∞)10．通过随机询问100名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：由K 2=算得K 2=≈4.762参照附表，得到的正确结论（ ）A.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”B.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”C.有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”D.有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关”11．从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( )A ．24B ．48C ．120D ．72 12.对于函数f (x )定义域中任意的1x ，2x (1x ≠2x )，有如下结论： ①f (1x ＋2x )＝f (1x )·f (2x ) ②f (1x ·2x )＝f (1x )＋f (2x )[来源:] ③1212()()0f x f x x x ->- ④1212()()()22x x f x f x f ++< 当f (x )＝lg x 时，上述结论中正确结论的序号是 ( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置． 13.若函数1)(3++=x ax x f 的图像在))1(,1(f 处的切线过点)7,2(，则=a _____________. 14.=+20lg 5lg _____________.15.若函数)(x f 定义域为R ，直线1=x 和2=x 是曲线)(x f y =的对称轴，且1)0(=f ，则=+)10()4(f f _____________.16.已知函数)(x f 满足)1(4)(x f x f =，当]1,41[∈x 时，x x f ln )(=.若在]4,41[上方程kx x f =)(有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是_____________.三、解答题:本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且60,4565==S S . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足*)(1N n a b b n n n ∈=-+，且31=b ，求⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）已知函数23cos sin sin 3)(2-+=x x x x f . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若A 为锐角且23)(=A f ，4=+c b ，求a 的取值范围.19．（本小题满分12分）设函数x x k x f -⋅+=22)(为定义域为R 上的偶函数. （Ⅰ）求k 的值和不等式25)(>x f 的解集； （Ⅱ）若对于任意R x ∈，不等式6)()2(-≥x mf x f 恒成立，求实数m 的最大值.20．（本小题满分12分）如图, 在直三棱柱ABC C B A -111中, 4,2,1===⊥AA AC AB AC AB , D 是 BC 的中点. （Ⅰ）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值； （Ⅱ）求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值.21.（本小题满分12分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半长轴长为r 2，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记x CD 2=，梯形面积为S . （Ⅰ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； （Ⅱ）求面积S 的最大值.22.（本小题满分12分）已知函数a a ax x x g e x f x 32)(,)(22+-+==，设)()()(x g x f x h ⋅= （Ⅰ）讨论函数)(x h 的单调性； （Ⅱ）试比较)2(-x f e 与x 的大小.2019-2020学年山东省寿光现代中学高三上学期开学考试 数学（理）参考答案1-5 BCDCB 6-10 CDACB 11-12 AC 13.1 14.1 15.2 16.]2ln 2,4(--e17.(1)32+=n a n(2)n n b n 22+=,)211(211+-=n n b n ,812453)2111211(2122+++=+-+-+=n n n n n n T n 18.(1))32sin()(π-=x x f ,单调增区间)](125,12[Z k k k ∈++-ππππ19.(1)1=k ,2522>+-x x ,解集}11|{-<>x x x 或(2)xx x x m --+++≤2262222,令2,22≥+=-t t xx ,44)(≥+=t t t g ,当且仅当2=t 取最小值 4≤m ,即m 的最大值4.20.以AB,AC,1AA 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 (1))4,1,1(),4,0,2(11-=-=→→D C B A ,10103,cos 11>=<→→D C B A 所以B A 1与D C 1所成角的余弦值10103 (2)面1ADC 的一个法向量)1,2,2(-=→n ，面1ABA 的一个法向量)0,2,0(=→AC32,cos ->=<→→AC n ，所以正弦值35 21.如图，以AB 为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，椭圆方程142222=+rx r y ，22)(2x r r x S -+=，定义域),0(r（2）令)()()(222x r r x x g -+=，2,0)(rx x g ==' 0)(),,2(,0)(),2,0(<'∈>'∈x g r rx x g r x1627)2()(4maxr r g x g ==，2332max r S =22.（1）)2)(2()(a x a x e x h x -++='当32=a 时，0)(≥'x h ，)(x h 在R 上递增； 当32<a 时，在),2(),2,(+∞---∞a a 上增，)2,2(a a --上减。

当32>a 时，在),2(),2,(+∞---∞a a 上增，在)2,2(--a a 上减。

（2）当1≤x 时，x ex e >-2当1>x 时，令x e x h x ln )(2-=-，01)(,1)(222>+=''-='--xe x h xe x h x x ， 所以)(x h '在),1(+∞上递增，0)(,0)1(>'<'e h h ，存在唯一0)(),,1(00='∈x h e x ，0210x e x =- 当),1(0x x ∈时，0)(<'x h ，当),(0e x x ∈时，0)(>'x h021ln )()(000200>-+=-=≥-x x x e x h x h x 所以x e x e>-2综上可得x e x e >-2（另解）x x e x ln 12≥->-。