第 2 讲 数形结合思想
感悟高考 明确考向
|lg x|， 0<x≤10，
(2010·全国)已知函数 f(x)＝－12x＋6， x>10，
若
a，b，c 互不相等，且 f(a)＝f(b)＝f(c)，则 abc 的取值范
围是 A．(1,10)
B．(5,6)
()
C．(10,12)
D．(20,24)
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题型一 数形结合思想在解决方程的根的个数、不等式
解集的问题中的应用
例 1 (1)已知：函数 f(x)满足下面关系．
①f(x＋1)＝f(x－1)；
②当 x∈[－1,1]时，f(x)＝x2.
则方程 f(x)＝lg x 解的个数是()来自A．5B．7C．9
D．10
(2)设奇函数 f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且 f(1)＝0，
答案 (1)C (2)D
探究提高 (1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指 数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重 要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作 是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转 化为两熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数 的图象，图象的交点个数即为方程解的个数． (2)解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的 特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象 的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问 题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答． (3)函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常 联系函数图象的对称性；最值(值域)经常联系函数图象的 最高、最低点的纵坐标．
解析 作出 f(x)的大致图象．
由图象知，要使 f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨设 a<b<c，则 －lg a＝lg b＝－21c＋6. ∴lg a＋lg b＝0， ∴ab＝1，∴abc＝c. 由图知 10<c<12，∴abc∈(10,12)． 答案 C
考题分析 本小题考查了分段函数的特征及性质．考查 了对数函数及其运算．重点考查了解决问题的方法即数 形结合的思想方法．体现了对知识和能力的双重考查． 易错提醒 (1)找不到问题解决的突破口．即想不到用数
形结合． (2)f(x)的图象的特征不清，忽视对(1,0)和(10,1)这两个特 殊点的分析． (3)不会借助图形进行分析．
思想方法概述
1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数 辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形： 一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联 系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数 的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的 精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数 作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确 地阐明曲线的几何性质．
3．数形结合思想解决的问题常有以下几种： (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围； (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围； (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的 大小关系； (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最 值问题和证明不等式； (5)构建立体几何模型研究代数问题； (6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究 最值问题； (7)构建方程模型，求根的个数； (8)研究图形的形状、位置关系、性质等．
2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原 则： (1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性 质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有 时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般 性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明， 要注意其带来的负面效应． (2)双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行 相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析 容易出错． (3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结 合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利； 二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、 做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的 取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直 线与定二次曲线．
5．在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做 到以下四点： (1)要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线 的代数特征； (2)要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化； (3)要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏； (4)精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代 数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解． 很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用这 些几何意义，往往能收到事半功倍的效果．
解析 (1)由题意可知，f(x)是以 2 为周期，值域为[0,1] 的函数． 又 f(x)＝lg x，则 x∈(0,10]，画出两函数图象， 则交点个数即为解的个数．又∵lg 10＝1，故当 x>10 时， 无交点．∴由图象可知共 9 个交点．
(2)∵f(x)为奇函数， ∴f(x)－f(－x)＝2f(x) 画出 y＝2f(x)的大致图象． 如图，则 f(x)与 x 异号的区间 如图阴影所示， ∴解集为(－1,0)∪(0,1)，故选 D.
4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法 与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特 功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训 练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意 以下几点： (1)准确画出函数图象，注意函数的定义域； (2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的 个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要 把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有 时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个 函数的图象，由图求解．
则不等式f(x)－xf(－x)<0 的解集为
()
A．(－1,0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
思维启迪 (1)在同一坐标系中画出 y＝f(x)和 y＝lg x 的 图象，由它们交点个数判断方程的解的个数；(2)f(x)－ f(－x)＝2f(x)，画出 y＝2f(x)的大致图象，f(x)与 x 异号的 区间，即为不等式的解集．