1 ln ������ , 2
关闭
∵x∈(e-1,1), ∴a=ln x∈(-1,0),b=
1 ln ������ 2
∈(1,2),c=eln x=x∈(e-1,1).∴b>c>a.
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A
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第一部分
应用一 应用二 应用三
一、函数与方程思想
思想方法诠释 应用四 思想分类应用 应用五 应用方法归纳
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突破训练2当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a 的取值范围是 . 关闭 ������2 -4������-3 当-2≤x<0 时,不等式转化为 a≤ 3 ,
即
1 2 1 2 2 ������=y +x -2yx× ,化简,得 2 2 ������2 -4
1
1 2 y(x-1)=x - , 4
∵x>1,∴x-1>0, ∴y= ������-1 ,
即 y=(x-1)+3 +2≥ 3+2, 4 ( ������ 1 ) A. 1 + m B.2 m 关闭 2 3 3 当且仅当 1= D.(2 时 ,取 “)m =”号,因此当 x=1+ 2 时,y 有最小值 2+ 3. 3)m + 3 D C.(1+ x4(������-1) 3
-17-
应用五
函数与方程思想在导数与函数中的应用
������ x-1 1 f(x)= ������,g(x)=e - -ln e ������
例 5(2018 河北唐山一模,文 21)已知函数 x-x+a.
(1)求f(x)的最大值; (2)若曲线y=g(x)与x轴相切,求a的值.
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令
������4 -������2 ������4 -������2 ������4 2������3 (������2 -2) g(q)= 2 (q>1),g'(q)= 2 2 . ������ -1 (������ -1)
������ -1
分析可得:当 1<q< 2时,g'(q)<0,g(q)在(0, 2)为减函数, 当 q> 2时,g'(q)>0,g(q)在( 2,+∞)为增函数,则当 q= 2时,g(q)取得 最小值,此时 g(q)=g( 2)=4, ∴a6+λa7 的最小值为 4. D
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-7-
突破训练 1 在△ABC 中,D 为 BC 边上一点,DC=2BD,AD= 2,∠ ADC=45°,若 AC= 2AB,则 BD 等于 ( )
关闭
2+DC2-2AD· A.2+中3 B.4 在△ADC ,AC2=AD DC· cos 45°=2+DC2-2 2 · DC· D.3+ 5 2 C.2+ 2 5 =2+DC -2DC; 2
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1-������ 解: (1)f'(x)= e������ ,当 x<1 时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当 x>1 时,f'(x)<0,f(x) 1 单调递减,故当 x=1 时,f(x)取得最大值 f(1)=e . 1 1 (2)因为 g'(x)=ex-1+������2 − ������-1,设切点为(t,0),则 g'(t)=0,且 g(t)=0,即 1 1 1 et-1+ 2 − ������ -1=0,et-1- ������ -ln t-t+a=0, ������ 1 所以 a= ������ +ln t+t-et-1. 1 1 令 h(x)=ex-1+������2 − ������-1, 1 ������ 1 由(1)得 f(x)≤ e,所以e������ ≤ e, 1 即 ex-1≥x,当且仅当 x=1 时等号成立,所以 h(x)≥x+ 2 − ������ 1 (������-1)2 (������+1) -1= ≥0,当且仅当 x=1 时等号成立,所以当且仅当 x=1 ������ ������2
������+2
������
3
3
������+1 2 =1+ (n≥2),由函数 ������-1 ������-1 2 n=2 处, 取得最大值 2. ������-1 ������������ ∴ ������ 的最大值为 3. ������-1
y=
2 ������ 在(1,+∞)内单调递减,可得������ ������ 在 ������-1 ������-1
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C
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应用方法归纳
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由 应用二 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,满足 f'(x)-f(x)>0.不妨设 函数与方程思想在不等式中的应用 x -x f(x)例 =e -e , 山东济南二模,理12)已知f(x)是定义在R上的奇函数,记 2 (2018 故 x)在 R 内为增函数 f(xf)(的导函数为 f'(x),当x.≥0时,满足f'(x)-f(x)>0.若x∈[-2,+∞)使不等 xx 33 xx 3 ∵ f[e (( xx -3 x+ 3)] ≤ f( a ee +x ), ex(x -3x+3) ex-x≤0 在[ 式 f[e 3 x+ 3)] ≤ f( a +x )∴ 成立 ,则实数 a-a 的最小值为 (-2,+∞ ))上有解. 3-3x+3- ������ , ∴a≥x 2 2 ������ e A.e-1 B.2-e ������ 3 令 g(x)=x -3x+3- ������ . 1 e C.1+2e2 D.1������-1 g'(x)=3x2-3+ e������ =(x-1)
e
3x+3+e������ ,故当 x∈(-2,1)时,g'(x)<0,当 x∈
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1
(1,+∞)时,g'(x)>0, 故 g(x)在(-2,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.
D gmin(x)=g(1)=1-3+3-1=1-1.故选 D. 故 e e
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思维升华函数思想的实质是使用函数方法解决数学问题(不一定 只是函数问题),构造函数解题是函数思想的一种主要体现;方程思 想的本质是根据已知得出方程(组),通过解方程(组)解决问题.
3
2 3
2
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∵幂函数 R 上是增函数,∴a<b<1. ∵函数 y=log 3 x 是减函数, ∴c=log 3 3>log 3 4=1, ∴a<b<c.
A
4 4
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2 y=������ 3 在 4
2
3
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思维升华因为数列是自变量为正整数的函数,所以根据题目条件 构造函数关系,把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题是常 用的解题思路.
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应用一 函数与方程思想在解三角形中的应用 关闭 例1为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求 1 1 设 BC 的长度为 m,AC 的长度为 yAC m,比 则AB AB 的长度为 ������ m, ∠ACB= 60°,BCx 的长度大于 1 m,且 长 m, 为了稳固广告牌 , 2 2 要求 AC越短越好 ,则AC最短为 ) 2-2AC· 在 △ABC 中,由余弦定理 ,得 AB2( =AC2+BC BCcos∠ACB,
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������ 突破训练3已知在数列{an}中,前n项和为Sn,且 Sn= a 的 n,则 3 ������������-1 最大值为( ) 关闭 A.-3 B.-1 ������+2 ∵S a, n= C .3 3 Dn .1 ������+2 ������+1 ������������ ∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= an- an-1,可化为 =
在△ABD 中,AB2=BD2+AD2-2BD· AD· cos 135°=BD2+2+2 2 · BD·
2 2 = 2 +BD +2BD. 2