第2讲　数形结合思想「思想方法解读」　数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想体现了数与形之间的沟通与转化，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面．数形结合的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，即将代数问题几何化、几何问题代数化．数形结合思想常用来解决函数零点问题、方程根与不等式问题、参数范围问题、立体几何模型研究代数问题，以及解析几何中的斜率、截距、距离等模型问题．热点题型探究热点1 数形结合化解方程问例1　(1)(2019·聊城市高三一模)已知函数f (x )＝Error!若关于x 的方程f (x )＝x ＋a 无实根，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)∪B ．(－1,0)(1e ，1)C.D ．(0,1)(0，1e )答案　B解析　因为函数f (x )＝Error!所以关于x 的方程f (x )＝x ＋a 无实根等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 无交点，设直线y ＝x ＋a 与f (x )＝(x >0)切于点P (x 0，y 0)，由f ′(x )＝，由已ln xx 1－ln xx 2知得＝1，解得x 0＝1，则P (1,0)，则切线方程为y ＝x －1，1－ln x 0x 20作出函数f (x )与直线y ＝x ＋a 的图象如图所示．由图知函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 无交点时实数a 的取值范围为－1<a <0，故选B.(2)已知函数f (x )＝Error!若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)答案　C解析　函数f (x )＝Error!的图象如图所示，当a <1时，函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点，即方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根．用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数．1．(2019·天津市重点中学毕业班联考(一))已知函数f (x )＝Error!若方程f (x )＋|x －2|－kx ＝0有且只有三个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是( )A. B.[－23，3－22)[－23，3＋22)C. D.(－∞，－23][－23，16]答案　A解析　f (x )＋|x －2|－kx ＝0有且只有三个不相等的实数根，等价于y ＝f (x )＋|x －2|与y ＝kx 的图象有三个交点，画出y ＝f (x )＋|x －2|＝Error!与y ＝kx 的图象如图，y ＝kx 与y ＝x 2＋3x ＋2相切时，k ＝3－2，y ＝kx 过(－3,2)时，2k ＝－，∴根据图象可知，－≤k <3－2时，两函数图象有三个交点，∴若方程f (x )23232＋|x －2|－kx ＝0有且只有三个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是，故选A.[－23，3－22)2．将函数f (x )＝sin的图象向右平移个单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的2(4x ＋π3)π8倍，得到g (x )的图象，若g (x )＋k ＝0在x ∈上有且只有一个实数根，则k 的取值范围是( )[0，π2]A ．k ≤B ．－1≤k ＜－1212C ．－＜k ≤ D ．－＜k ≤或k ＝－112121212答案　D解析　将f (x )的图象向右平移个单位得到h (x )＝sin ＝sin ，再将所有点π8[4(x －π8)＋π3](4x －π6)的横坐标伸长为原来的2倍得到g (x )＝sin.(2x －π6)所以g (x )＋k ＝0，即为方程sin＋k ＝0.(2x －π6)令2x －＝t ，因为x ∈，所以－≤t ≤.π6[0，π2]π65π6若g (x )＋k ＝0在x ∈上有且只有一个实数根，即g (t )＝sin t 与y ＝－k 在上有[0，π2][－π6，5π6]且只有一个交点.如图所示，由正弦函数的图象可知－≤－k ＜或－k ＝1，即－＜k ≤或k ＝－1.12121212热点2 数形结合化解不等式问题例2　(1)(2019·安徽省江南十校高三联考)已知x ，y 满足Error!z ＝xy 的最小值、最大值分别为a ，b ，且x 2－kx ＋1≥0对x ∈[a ，b ]恒成立，则k 的取值范围为( )A ．－2≤k ≤2B ．k ≤2C ．k ≥－2D ．k ≤14572答案　B解析　作出Error!表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然z ＝xy 的最小值为0，当点(x ，y )在线段x ＋2y ＝3(0≤x ≤1)上时，z ＝xy ＝x ＝－x 2＋x ≤1；(32－x 2)1232当点(x ，y )在线段2x ＋y ＝3(0≤x ≤1)上时，z ＝xy ＝x (3－2x )＝－2x 2＋3x ≤；即a ＝0，b ＝；9898当x ＝0时，不等式x 2－kx ＋1＝1≥0恒成立，若x 2－kx ＋1≥0对x ∈恒成立，(0，98]则k ≤x ＋在上恒成立，1x (0，98]又x ＋在(0,1]上单调递减，在上单调递增，1x (1，98]即min ＝2，即k ≤2.(x ＋1x )(2)已知关于x 的不等式＞ax ＋的解集为{x |4＜x ＜b }，则ab ＝________.x 32答案　92解析　设f (x )＝，g (x )＝ax ＋(x ≥0)．x 32因为＞ax ＋的解集为{x |4＜x ＜b }，所以两函数图象在4＜x ＜b 上有f (x )＞g (x )，如图所示．x 32当x ＝4，x ＝b 时，由f (x )＝g (x )，可得Error!解得Error!所以ab ＝×36＝.1892数形结合思想处理不等式问题，要从题目的条件与结论出发，着重分析其几何意义，从图形上找出解题思路．因此，往往构造熟知的函数，作出函数图象，利用图象的交点和图象的位置求解不等式．1．(2019·湖南三市高三联考)设f ′(x )是函数f (x )的导函数，若f ′(x )>0，且∀x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，f (x 1)＋f (x 2)<2f，则下列选项中不一定正确的一项是( )(x 1＋x 22)A ．f (2)<f (e)<f (π)B ．f ′(π)<f ′(e)<f ′(2)C ．f (2)<f ′(2)－f ′(3)<f (3)D ．f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)答案　C解析　因为f ′(x )>0，所以f (x )在R 上单调递增．∀x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，恒有f (x 1)＋f (x 2)<2f，即<f，所以y ＝f (x )的图象是向上凸起的，如图所示．(x 1＋x 22)f x 1 ＋f x 22(x 1＋x 22)所以f (2)<f (e)<f (π)，故A 正确；因为f ′(x )反映了函数f (x )图象上各点处的切线的斜率，由图象可知，随着x 的增大，f (x )的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以f ′(π)<f ′(e)<f ′(2)，故B 正确；因为f (3)－f (2)＝，表示点A (2，f (2))与B (3，f (3))连线的斜率，f 3 －f 23－2由图可知f ′(3)<k AB <f ′(2)，故D 正确；C 无法推出，故选C.2．∀x ∈，8x ＜log a x ＋1恒成立，则实数a 的取值范围是________．(0，13)答案　≤a ＜113解析　当0＜x ＜时，函数y ＝8x －1的图象如图中实线所示．13∵∀x ∈，8x ＜log a x ＋1恒成立，(0，13)∴当x ∈时，y ＝log ax 的图象恒在y ＝8x－1的图象的上方(如图中虚线所示)．∵y ＝log ax 的(0，13)图象与y ＝8x －1的图象交于点时，a ＝，∴≤a ＜1.(13，1)1313热点3 数形结合化解平面向量问题例3　(1)(2019·东北三省三校高三第二次模拟)赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)，类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF ＝2AF ，则( )A.＝＋B.＝＋AD → 213AC → 913AB →AD → 29AC → 127AB → C.＝＋ D.＝＋AD → 313AC → 613AB → AD → 313AC → 913AB →答案　D解析　设DF ＝2AF ＝2，因此BD ＝AF ＝1，又由题意可得∠ADB ＝120°，所以AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD ·cos∠ADB ＝32＋12－6cos120°＝13，因此AB ＝；13延长AD 交BC 于M ，记∠DAB ＝θ，∠AMB ＝α，则cos∠DAB ＝＝＝，AD 2＋AB 2－BD 22AD ·AB 9＋13－161371326所以sin∠DAB ＝＝；1－cos2∠DAB 3926又由题意易知∠DAB ＝∠DBM ，则α＝120°－θ，在三角形DBM 中，由正弦定理可得＝＝，BM sin ∠MDB DM sin ∠DBM BDsin ∠DMB 即＝＝，BM sin60°DM sin θ1sin 120°－θ因此BM ＝＝＝＝BC ，DM ＝＝sin60°sin 120°－θ 3232cos θ＋12sin θ13414sin θsin 120°－θ ＝，sin θ32cos θ＋12sin θ14所以AD ＝AM ＝AM ，33＋141213因为BM ＝BC ，所以＝，即－＝(－)，14BM → 14BC → AM → AB → 14AC → AB→整理得＝A ＋，所以＝＝＝＋.故选D.AM → 34B → 14AC → AD → 1213AM → 1213(34AB → ＋14AC → )913AB → 313AC → (2)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧OA → OB→2π3上运动．若＝x ＋y ，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值为________，此时∠AOC ＝________.AB ︵ OC → OA → OB →答案　2　π3解析　由图示和题意可知，A (1,0)，B .(－12，32)设∠AOC ＝α，则C (cos α，sin α)．(α∈[0，2π3])由＝x ＋y ，得OC → OA → OB → Error!解得Error!所以x ＋y ＝cos α＋sin α＝2sin .3(α＋π6)又α∈，所以当α＝时，x ＋y 取得最大值2.[0，2π3]π3建坐标系可以实现平面向量问题的全面运算，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，化繁为简，轻松破解．1．(2019·马鞍山市第二次教学质量监测)已知圆C 1，C 2，C 3是同心圆，半径依次为1,2,3，过圆C 1上点M 作C 1的切线交圆C 2于A ，B 两点，P 为圆C 3上任一点，则·的取值范围为( )PA → PB→ A ．[－8，－4] B ．[0,12]C ．[1,13] D ．[4,16]答案　C解析　设同心圆的圆心为O ，由切线性质可知OM ⊥AB ，又过圆C 1上点M 作C 1的切线交圆C 2于A ，B 两点，∴OA ＝OB ＝2，OM ＝1，在Rt△OAM 中，sin∠OAM ＝＝，∴∠OAB ＝∠OAM ＝，根据OM OA 12π6OA ＝OB ＝2，可知∠OAB ＝∠OBA ＝，∴∠AOB ＝，·＝(＋)·(＋)＝||2＋·＋π62π3PA → PB → PO → OA → PO → OB → PO → PO → OB →·＋·＝9＋·(＋)＋||||·cos ＝7－·(＋)．∵OM ⊥AB ，OA ＝OB ，OA → PO → OA → OB → PO → OB → OA → OA → OB → 2π3OP → OB → OA →∴M 是AB 的中点，根据向量加法的几何意义得＋＝2，代入上式得，·＝7－·(＋OA → OB → OM → PA → PB → OP → OB→)＝7－2·＝7－2||||cos〈，〉＝7－6cos〈，〉，∵〈，〉∈[0，π]，∴cos〈OA → OP → OM → OP → OM → OP → OM → OP → OM → OP → OM → ，〉∈[－1,1]，∴·∈[1,13]，故选C.OP → OM → PA → PB → 2．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝，若·＝2·，π4AB → AC → AB → AD→则·＝________.AD → AC→答案　12解析　解法一：因为·＝2·，AB → AC → AB → AD→ 所以·－·＝·，所以·＝·.AB → AC → AB → AD → AB → AD → AB → DC → AB → AD → 因为AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝，π4所以2||＝||||cos ，化简得||＝2.AB → AB → AD → π4AD→2故·＝·(＋)＝||2＋·＝(2)2＋2×2cos ＝12.AD → AC → AD → AD → DC → AD → AD → DC→22π4解法二：如图，建立平面直角坐标系xAy .依题意，可设点D (m ，m )，C (m ＋2，m )，B (n,0)，其中m ＞0，n ＞0，则由·＝2·，得(n,0)·(m ＋2，m )＝2(n,0)·(m ，m )，AB → AC → AB → AD→ 所以n (m ＋2)＝2nm ，化简得m ＝2.故·＝(m ，m )·(m ＋2，m )＝2m 2＋2m ＝12.AD → AC→ 热点4 数形结合化解圆锥曲线问题例4　(1)(2019·河南省高三一模)设双曲线的方程为－＝1(a >0，b >0)，若双曲线的渐近线被x 2a 2y 2b 2圆M ：x 2＋y 2－10x ＝0所截得的两条弦长之和为12，已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则的值等于( )|sin P ||sin A －sin B |A.B. 3573C.D.537答案　C 解析　双曲线的一条渐近线方程为y ＝x ，∵双曲线的渐近线被圆M ：x 2＋y 2－10x ＝0即(x －5)ba 2＋y 2＝25所截得的两条弦长之和为12，设圆心到渐近线的距离为d ，则d ＝＝4.∴＝4，25－95ba 2＋b 2即5b ＝4c ，b ＝c .∵a 2＝c 2－b2＝c 2，∴a ＝c ，4592535∵A ，B 分别为双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，∴|AP －BP |＝2a ，根据正弦定理可得＝＝＝2R ，∴sin B ＝，sin A ＝，sin P ＝，∴＝＝＝，故选AP sin B BP sin A AB sin P AP 2R BP 2R 2c 2R |sin P ||sin A －sin B |2c2R|BP 2R －AP 2R |2c 2a 53C.(2)已知A (1,1)为椭圆＋＝1内一点，F 1为椭圆的左焦点，P 为椭圆上一动点，求|PF 1|＋|PA |x 29y 25的最大值和最小值．解　由＋＝1可知a ＝3，b ＝，c ＝2，左焦点F 1(－2，0)，右焦点F 2(2,0)．x 29y 255由椭圆定义，知|PF 1|＝2a －|PF 2|＝6－|PF 2|，∴|PF 1|＋|PA |＝6－|PF 2|＋|PA |＝6＋|PA |－|PF 2|.如图，由||PA |－|PF 2||≤|AF 2|＝＝，2－1 2＋ 0－1 22知－≤|PA |－|PF 2|≤ .22当点P 在AF 2的延长线上的点P 2处时，取右“＝”，当点P 在AF 2的反向延长线上的点P 1处时，取左“＝”，即|PA |－|PF 2|的最大、最小值分别为，－.22于是|PF 1|＋|PA |的最大值是6＋，最小值是6－.22与圆锥曲线有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数表达式求解．但一味的强调函数观点，有时使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，会使问题变得特别简单．1．椭圆＋＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN x 25y 24的面积是( )A. B. C. D.55655855455答案　C解析　如图，设椭圆的右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.因为|MF |＋|NF |＋|MF ′|＋|NF ′|≥|MF |＋|NF |＋|MN |，所以当直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大．此时|MN |＝＝，又c ＝＝＝1，所以此时△FMN 的面积S ＝×2×＝.2b 2a 855a 2－b 25－412855855故选C.2．(2019·四川省成都市第七中学高三下学期三诊)已知双曲线C ：－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其x 2a 2一条渐近线的距离等于，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点34M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案　B 解析　由双曲线方程－4y 2＝1(a >0)可得，双曲线的右顶点为(a,0)，渐近线方程为y ＝±x ，x 2a 212a 即x ±2ay ＝0.∵双曲线的右顶点到渐近线的距离等于，∴＝，解得a 2＝，∴双曲线的方34a 1＋4a 23434程为－4y 2＝1，4x 23∴双曲线的焦点为(1,0)．又抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，∴p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，焦点坐标为F (1,0)．如图，设点M 到直线l 1的距离为|MA |，到直线l 2的距离为|MB |，则|MB |＝|MF |，∴|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MF |.结合图形可得当A ，M ，F 三点共线时，|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MF |最小，且最小值为点F 到直线l 1的距离d ＝＝2.故选B.|4×1＋6|42＋32。