∧ cos( L1 , L2 ) =
| m1m2 + n1n2 + p1 p2 | m12 + n12 + p12 m2 2 + n2 2 + p2 2
——两直线的夹角公式
两直线的位置关系
r r (1) L1 ⊥ L2 s1 ⊥ s2
m1 m 2 + n1 n2 + p1 p2 = 0,
( 2) L1 // L2 r r s1 // s2
π r∧r r∧ r π ( s , n ) = 或 ( s , n) = + 2 2
r r r | n s | sin = cos( s , n ) = r r ns
r∧
=
| Am + Bn + Cp | A2 + B 2 + C 2 m 2 + n2 + p 2
—— 直线与平面的夹角公式 直线与平面的位置关系
r r A = B = C . (1) L⊥ Π s // n m n p r r ( 2) L // Π s ⊥ n Am + Bn + Cp = 0.
(四) 点到直线的距离
r Q 面积 S = s d
P d N L
r = s × MP
∴ 点P 到直线 L的距离为：
r s × MP d= r s
= ( A2 , B2 , C 2 )
r k C1 C2
由此可确定方向数 m, n, p，从而写出L的 对称式.
(二) 两直线的夹角 定义 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）
x x1 y y1 z z1 = = , 直线 L1 : m1 n1 p1 x x 2 y y2 z z 2 = = , 直线 L2 : m2 n2 p2
y2 y1 n1 n2
z2 z1 p1 = 0 p2
(4) L1 与 L2 异面
→ rr r r [ MN s1 s2 ] = ( MN × s1 ) s2 →
N ( x2 , y2 , z2 )
r s2 r s1
x2 x1 = m1 m2
y2 y1 n1 n2
z2 z1 p1 = 0 / p2
r r MN = ( 2, 2, 1), s1 = (1, 2, λ ) , s2 = (1, 1, 1)
→
r r MN = ( 2, 2, 1), s1 = (1, 2, λ ) , s2 = (1, 1, 1) → r r → r r Q [ MN s1 s2 ] = ( MN × s1 ) s2
→
2 = 1 1
2 1 1 2 2 λ 1 λ 2 λ = ( 2 ) 2 + ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1
= ( 2) ( 2 λ ) 2 (1 λ ) + 1= 4λ 5
r 而L1与L2 异面 [ MN s1 s2 ] = 0 /
→ r
5 ∴ 当λ ≠ 时，所给两直线异面 . 4
x = x0 y = y0
x x 0 y y0 z z 0 = = =t 令 m n p
3. 空间直线的参数方程
x = x0 + mt y = y0 + nt = + z z0 pt
(参数 t ∈ R )
注 化直线L方程的一般式
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 (1)
M ( x1 , y1 , z1 )
(三) 直线与平面的夹角 定义 直线和它在平面上的投影直线的夹 π 角 (0 ≤ ≤ ) 称为直线与平面的 r 2 n L 夹角．
x x0 y y0 z z 0 L: = = , m n p
Π : Ax + By + Cz + D = 0,
r s = ( m , n, p ), r n = ( A, B , C ),
L1 y +1 z 1 r L2 s2 = (1, 1, 1) 5 2 =0 P Q( x, y, z ) 4 5 r 1 1 s1 = (1, 2, )
故所求平面方程为
M (1,1, 1)
4
1 3 ( x 1) + ( y + 1) ( z 1) = 0，即 3 x + y 4 z + 2 = 0. 4 4
r s
M
(五) 平面束法 1. 平面束： 设直线L的方程为：
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 (1) A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 则称 Πλ： A2 x + B2 y + C2 z + D2 + λ( A1 x + B1 y + C1z + D1 ) = 0 (2) (参数λ ∈ R)
x+3 y2 z5 所求直线的方程 = = . 4 3 1
y+1 z 1 例4 设有两直线 L1： 1 = x = 和 2 λ L2 : x + 1 = y 1 = z , 试确定 λ 的值，使 (1) 两直线异面； ( 2) 两直线相交，并求它们 所在平面的方程 .
解 (1) 依题设，有
M (1, 1,1) ∈ L1，N ( 1, 1, 0 ) ∈ L2，
7 | 1 × 2 + ( 1) × ( 1) + 2 × 2 | = . = 6 9 3 6 7 ∴ = arcsin 为所求夹角． 3 6
y+1= 0 的距离. 例6 求点 P (0,1,1)到直线 x + 2z 7 = 0 解 (方法1) 公式法 P
d 所给直线L的方向向量： r r r i j k r r N s = 0 1 0 = ( 2, 0, 1)， s M 1 0 2 L
例7 求过点 M ( 0 ,0 ,1),
Π1 :
且通过两平面
x+ y+ z+1= 0
Π 2 : 4 x y + 3z + 1 = 0 交线的平面方程 .
解 (方法1) ∵ Π1 // Π2
( 2) 两直线相交，并求它们 所在平面的方程 .
r r Q s1与s2不平行
L1 与 L2 相交
→
r s2 = (1, 1, 1)
N (1, 1, 0)
L1
L2
→ rr r r [ MN s1 s2 ] = ( MN × s1 ) s2 = 0
P r s1 = (1, 2, λ ) ,
为对称式的步骤： 1° 由(1), 任意求出直线L上的一点 M0(x0, y0, z0) (只要点M0的坐标同时满足(1)中的两个方程即可) r 2° 确定L 的方向向量 s .
Q L在平面 Π 1 和 Π 2上 r r ∴ L ⊥ n1 = ( A1 , B1 , C1 ), L ⊥ n2 r 又 Q s // L r r r r ∴ s ⊥ n1 , s ⊥ n2 r r r r 若 n1 // n2 , 则可取 i j r r r s = n1 × n2 = A1 B1 A2 B2
对称式方程
x 1 y 2 z + 2 = = , 4 1 3
x = 1 + 4t 参数方程 y = 2 t . z = 2 3 t
例2 一直线过点A(2,3,4)，且和 y 轴垂直相 交，求其方程. 解 因为直线和 y 轴垂直相交 , 所以交点为 B( 0,3, 0),
一般思路：作过A 点 z 且垂直于已知直线L1 的平面Π，再求Π与 L1的交点，进而求得 B 所求直线的方向向量. x 此处 Π : y = -3
A
r 取 s = BA = ( 2, 0, 4),
o
y
x2 y+3 z4 所求直线方程 = = . 2 0 4
例3 求过点(3, 2, 5) 且与两平面 x 4 z = 3
和 2 x y 5 z = 1的交线平行的直线方程. r 解 设所求直线的方向向量为 s = ( m , n, p ), r r r s s ⊥ n1 = (1, 0,4) , 根据题意知 L r r s ⊥ n2 = ( 2, 1, 5) P (3, 2,5 ) r r r i j k r r r 取 s = n1 × n2 = 1 0 4 = ( 4,3,1), 2 1 5
第七章
第四节 空间直线及其方程
一、主要内容 二、典型例题 三、同步练习 四、同步练习解答
一、主要内容
(一) 空间直线的方程 定义 空间直线可看成两平面的交线．
Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
1. 空间直线的一般式方程
为通过直线L的平面束.
设 Π1 : A1 x + B1 y + C1z + D1 = 0
可以证明： Π λ 是通过直线 L(除去 Π 1 )的 所有平面.
二、典型例题
例1 用对称式方程及参数方程表示直线
x + y + z 1 = 0 2 x y + 3z + 6 = 0
解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )
x 1 y z +1 = = ， 例5 设直线 L : 2 1 2 平面 Π : x y + 2 z = 3，求直线与平面的夹角.
解
r n = (1,1, 2), r s = ( 2,1, 2),
sin =
| Am + Bn + Cp | 2 2 2 2 2 2 A + B +C m +n + p