求异面直线之间距离的常用方法求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。

常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转化为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。

方法一、定义法也叫直接法，根据定义，找出或作出异面直线的公垂线段，再计算此公垂线段的长。

这是求异面直线距离的关键。

该种方法需要考虑两种情况：一是如两条一面直线垂直，一般采用的方法是找或做：过其中一个直线与另一个直线垂直的平面。

若两个直线不垂直，则需要找第三条直线，若第3条直线与两个异面直线都垂直，则平移第3条直线使得与两个异面直线都相交。

例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。

思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。

在⊿ADE 中，∠ADE=1200，AD=DE=a ，DH=2a 。

即异面直线CD 与AE 间的距离为2a 。

例2 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点.(1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线；(2)求AB 和CD 间的距离；(3)求EF 和AC 所成角的大小.(1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF .又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E .同理EF ⊥DC 交DC 于点F .所以EF 是AB 和CD 的公垂线.(2)在Rt △BEF 中，BF =a 23,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 212，即EF =a 22. 由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为a 22. (3)过E 点作EG ∥AC 交BC 于G ，因为E 为AB 的中点，所以G 为BC 的中点.所以∠FEG 即为异面直线EF 和AC 所成的角.E例2题图在△FEG 中，EF =a 22,EG =a 21,FG =a 21, cos ∠FEG =222222=⋅⋅-+EG EF FG EG EF . 所以 ∠FEG =45°所以异面直线EF 与AC 所成的角为45°．例3 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1棱长为a ，求异面直线AC 与BC 1的距离。

取BC 的中点P ，连结PD ，PB 1分别交AC ，BC 1于M ，N 点，易证：DB1//MN ，DB 1⊥AC ， DB 1⊥BC 1，∴ MN 为异面直线AC 与BC 1的公垂线段，易证：MN=B 1D=a 。

例4、正四棱锥S -ABCD 中，底面边长为a ，侧棱长为b(b ＞a)．求：底面对角线AC 与侧棱SB 间的距离．解：作SO ⊥面ABCD 于O ，则点O 是正方形ABCD 的中心．∵SO ⊥AC ，BO ⊥AC ，∴AC ⊥面SOB ．在△SOB 中，作OH ⊥SB 于H ①，根据①、②可知OH 是AC 与SB 的距离．∵OH ·SB ＝SO ·OB ，A B C EFＳ Ｄ 图方法二、转化为线面距离若a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线C ，记C 与b 确定的平面α。

从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。

例1 Ｓ为直角梯形ABCD 所在平面外一点，090=∠=∠ABC DAB ，SA ⊥平面AC ，SA=AB=BC=a ，AD=2a ，求异面直线SC 与AB 间的距离．解：如图，设Ｆ是AD 的中点,连结SF 、CF, 则AB ∥CF .故AB ∥平面CFS 故直线AB 到平面CFS 的距离就是异面直线SC 与AB 间的距离，在平面SAF 内作AE ⊥SF ，垂足为E ，易知AB ⊥平面SAF ，故CF ⊥平面SAF .∴CF ⊥AE . 从而AE ⊥平面CFS ,故AE 为直线AB 到平面CFS 的距离,即SC 与AB 间距离. 在SAF Rt ∆中,易得AE =22a ． 思考，与方法一的思路是否统一？例2 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。

思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD 交于D ，连结CD 。

设A 到平面BCD 的距离为h 。

由体积法V A-BCD =V C-ABD ， 得h=βαβα22cos cos 1sin sin -d 方法三、体积法：体积法实质也为线面法本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体的高，然后体积公式求之。

例1：正方体，求AC 与BC 1的距离A1 A图 C C 1A B D A 1 B 1 D 1 图３ 当求AC 与BC 1的距离转化为求AC 与平面A 1C 1B 的距离后，设C 点到平面A 1C 1B 的距离为h ，则 ∵ h·(a)2=·a·a 2,∴ h=a ，即AC 与BC 1的距离为a 。

例2 设长方体的三边长为AB ＝5, BC ＝4, 1BB ＝3,求AB 和1DB 之间的距离. 解:如图4,由AB ∥11B A ,知AB ∥平面11DB A .故要求AB 和1DB 之间的距离,只要求出AB 到平面11DB A 的距离即可.连结11,AB D A , 则三棱锥D B A A 11-的高h 也就是AB 到平面11DB A 的距离.而D AA B D B A A V V 1111--=,即111113131B A S h S D AA D B A ∙=∙∆∆, 可求得512=h . 故AB 和1DB 之间的距离为512. 评注：等体积法是解决距离问题的常用方法，运用它可避免作一些复杂的辅助线，关键是找到容易计算面积的底面。

方法四、转化为面面距离若a 、b 是两条异面直线，则存在两个平行平面α、β，且a ∈α、b ∈β。

求a 、b 两条异面直线的距离转化为平行平面α、β间的距离。

例1 棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，求两对角线B A 1与C B 1间的距离． 解：连结1111,,,D B CD BD D A ，∵D A 1∥C B 1，BD ∥11D B ，D BD D A = 1，∴平面B A 1D ∥平面11CD B ．连结111,C A AC ，则11C A ⊥11D B ，由三垂线定理，知1AC ⊥11D B ．同理，1AC ⊥C B 1．∴1AC ⊥平面11CD B ．同理1AC ⊥平面B A 1D ． ∴平面11CD B ∥平面B A 1D ．设1AC 与平面B A 1D 、平面11CD B 的交点分别为Ｍ、Ｎ，则MN 的长即为平面11CD B 与平面B A 1D 的距离，也就是异面直线B A 1与C B 1间的距离．设11C A 与11D B 的交点为Ｏ, 连结M A 1,ON ,在平面11C AA 中, M A 1⊥1AC , ON ⊥1AC ,则M A 1∥ON ．∵11OC OA =， ∴N C MN 1=．同理AM MN =． ∴a AC MN 33311==． 故B A 1与C B 1间的距离为a 33． 评注：把求异面直线间的距离转化为求直线与平面或平面与平面间的距离，是求异面直线间距离时最常用的两种转化手段．例 2 已知：三棱锥S-ABC 中，SA=BC=13，SB=AC=14，SC=AB=15，求异面直线AD 与BC 的距离。

思路分析：这是一不易直接求解的几何题，把它补成一个易求解的几何体的典型例子，常常有时还常把残缺形体补成完整形体；不规则形体补成规则形体；不熟悉形体补成熟悉形体等。

所以，把三棱锥的四个面联想到长方体割去四个直三棱锥所得，因此，将三棱锥补形转化为长方体， 设长方形的长、宽、高分别为x 、y 、z ，则⎪⎩⎪⎨⎧==+==+==+222222222222131415BC x z AC z y AB y x解得x=3，y=2，z=1。

由于平面SA ‖平面BC ，平面SA 、平面BC 间的距离是2，所以异面直线AD 与BC 的距离是2。

例3 正方体，求AC 与BC 1的距离C AB解法3：（转化法） ∵平面ACD 1//平面A 1C 1B ，∴ AC 与BC 1的距离等于平面ACD 1与平面A 1C 1B 的距离，（如图3所示），∵ DB 1⊥平面ACD 1，且被平面ACD 1和平面A 1C 1B 三等分；∴ 所求距离为B 1D=a 。

小结：这种解法是将线线距离转化为面面距离。

方法五：构造函数法求极值法根据异面直线间距离是分别在两条异面直线上的两点间距离的最小值，可用求函数最小值的方法来求异面直线间的距离。

例1已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求A 1B 与D 1B 1的距离。

思路分析：在A 1B 上任取一点M ，作 MP ⊥A 1B 1，PN ⊥B 1D 1，则MN ⊥B 1D 1，只要求出MN 的最小值即可。

设A 1M=x ，则MP=22x ，A 1P=22x 。

所以PB 1=a –22x ，PN=（a –22x ）sin450=21（2a –x ），MN=22PN PM + =222232)32(23a x +-。

当x=a 32时，MN min =a 33。

例2 正方体，求AC 与BC 1的距离。

任取点Q ∈BC 1，作QR ⊥BC 于R 点，作RK ⊥AC 于K 点，如图4所示，1 ACAB DE FPQＲ 图４ C 设RC=x ，则OK 2=x 2+(a-x)2=(x-a)2+a 2≥a 2,故QK 的最小值，即AC 与BC 1的距离等于a 。

小结：这种解法是恰当的选择未知量，构造一个目标函数，通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距离。

例3 已知正方形ABCD 和正方形ADEF 所在平面互相垂直，并相交于直线AD ．这两个正方形的边长均为a ，求异面直线AE 和BD 的距离．解：Ｐ是AE 上任意一点,过P 作PQ 垂直AD ，垂足为Q ，∵平面ADEF ⊥平面ABCD ， 且平面ADEF 平面ABCD ＝AD ，∴PQ ⊥平面ABCD ．过Ｑ作QR ⊥BD ,垂足为Ｒ,连结PR ,则QR 是PR 在平面ABCD 上的射影,由QR ⊥BD ,知PR ⊥BD .∴PR 的长度是AE 上任意一点P 到BD 的距离.设AQ =x ,则QD =a －x .在APQ Rt ∆中,045=∠PAQ ,090=∠PQA , AQ =x ,则PQ =x .在DQR Rt ∆中,x a DQ DRQ QDR -==∠=∠,90,4500,则QR =22(a －x ). ∵PQ ⊥平面ABCD,QR ⊂平面ABCD, ∴PQ ⊥QR .在PQR Rt ∆中,22222)](22[x a x QR PQ PR -+=+=, ∴3)3(232232222a a x a ax x PR +-=+-=. ∴当x =3a 时, PR 取最小值a 33, 即异面直线AE 和BD 的距离为a 33． 评注：因异面直线的距离是异面直线上两点间距离最短的，从而可将异面直线的距离转化为二次函数的最值求解．在求异面直线SA 与BC 间的距离时，可先在SA 任取一点D ，作DE ⊥直径AC 于E ，则DE ⊥底面圆．再作EF ⊥BC 于F ，则有DF ⊥BC ，于是DF 的最小值就是SA 与BC 间的距离．方法六：公式法如图，已知异面直线a 、b 所成的角为q ，公垂线段AA ＇= d ，A ＇E=m , AF = n ,应用此公式时，要注意正、负号的选择．当∠DAF=q 时，取负号；当点F （或点E ）在点A （或A ＇）的另一侧时取正号．例5 已知圆柱的底面半径为3，高为4，A 、B 两点分别在两底面圆周上，并且AB=5，求异面直线AB 与轴OO /之间的距离。