各种模态分析方法总结与比较一、模态分析模态分析是计算或试验分析固有频率、阻尼比和模态振型这些模态参数的过程。

模态分析的理论经典定义：将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的模态参数。

坐标变换的变换矩阵为模态矩阵，其每列为模态振型。

模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。

模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。

这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。

这个分析过程如果是由有限元计算的方法取得的，则称为计算模记分析；如果通过试验将采集的系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数，称为试验模态分析。

通常，模态分析都是指试验模态分析。

振动模态是弹性结构的固有的、整体的特性。

如果通过模态分析方法搞清楚了结构物在某一易受影响的频率范围内各阶主要模态的特性，就可能预言结构在此频段内在外部或内部各种振源作用下实际振动响应。

因此，模态分析是结构动态设计及设备的故障诊断的重要方法。

模态分析最终目标是在识别出系统的模态参数，为结构系统的振动特性分析、振动故障诊断和预报以及结构动力特性的优化设计提供依据。

二、各模态分析方法的总结（一）单自由度法般来说，一个系统的动态响应是它的若干阶模态振型的叠加。

但是如果假定在给定的频带内只有一个模态是重要的，那么该模态的参数可以 单独确定。

以这个假定为根据的模态参数识别方法叫做单自由度（SDOF 法n1。

在给定的频带范围内，结构的动态特性的时域表达表示近似为:r eQR而频域表示则近似为:单自由度系统是一种很快速的方法，几乎不需要什么计算时间和计算 机内存。

这种单自由度的假定只有当系统的各阶模态能够很好解耦时才是正 确的。

然而实际情况通常并不是这样的，所以就需要用包含若干模态的模 型对测得的数据进行近似，同时识别这些参数的模态，就是所谓的多自由 度（MDOF 法。

单自由度算法运算速度很快，几乎不需要什么计算和计算机内存，因 此在当前小型二通道或四通道傅立叶分析仪中，都把这种方法做成内置选 项。

然而随着计算机的发展，内存不断扩大，计算速度越来越快，在大多 数实际应用中，单自由度方法已经让位给更加复杂的多自由度方法。

1、峰值检测峰值检测是一种单自由度方法，它是频域中的模态模型为根据对系统 极点进行局部估计（固有频率和阻尼）。

峰值检测方法基于这样的事实：在 固有频率附近，频响函数通过自己的极值，此时其实部为零（同相部分最2-1hjQr jjrUR LR 22-2小），而虚部和幅值最大（相移达90 °，幅度达峰值）图1。

出现极值的那个固有频率就是阻尼固有频率 r的良好估计。

相应的阻尼比r ，的估计可1和2分处在阻尼固有频率的两侧（1< r < 2）,则:H j r | "VT"2-42、模态检测项则单个频响函数在 r 处的值近似为:估计值如图1。

利用这种模态检测方法之前，先要估计出图1对频响应函数的幅值进行峰值和模态检测3、圆拟合圆拟合是一种单自由度方法，用频域中的模态模型对系统极点和复模用半功率点法得到。

设 2-3模态检测是根据频域中的模态模型对复模态（或实模态）向量进行局部估计的一种单自由度方法。

在 h jQ rjt-UR孚中略去剩余H tj j rQr 1r jrj r rj rQr 1r jrA l jr2-5由此式可见，频响函数在r处的值乘以模态阻尼因r，就是留数（的态（或实模态）向量进行局部估计。

此方法依据事实是：单自由度系统的速 度频响函数（速度对力）在奈奎斯特图（即实部对虚部）上呈现为一个圆。

如 果把其他模态的影响近似为一个复常数，那么在共振频率 数的基本公式为:因此，首先要选择共振频率附近的一组频率响应点，通过这些点拟合 成一个圆。

阻尼固有频率r 可以看成是复平面上数据点之间角度变化率最 大（角间隔最大）的那个点的频率，也可以看成是相位角与圆心的相位角最 为接近的那个数据点的频率。

对于分得幵的模态而言，二者的差别是很小。

阻尼比r 估计如下:rtan 力式中1，2：分居在r 两侧的两个频率点:式中：圆的直径:园心与固有频率点的连线跟虚轴之间的夹角.圆拟合法速度也很快，但为避免结果出错，特别是在模态节点附近,需要操作者参与。

r附近，频响函H tjU jV-R j1r2-62-72:分别为频率点在1和2得半径与r得半径之间的夹角。

圆的直径和阻尼固有频率点的角位置含有复留数U+jV 的信息:^Ui^,tanU rV2-8（二）单自由度与多自由度系统粘性阻尼单自由度SDO 系统如图2的力平衡方程式表示惯性力、阻尼 力、弹性力与外力之间的平衡图2单自由度系统其中M:质量C:阻尼K ： xxx :加速度，速度，位移f :外力t 时间变 量，把结构中所呈现出来的全部阻尼都近似为一般的粘性阻尼。

上式右端的分母叫做系统特征方程，它的根即是系统的极点是:如果没有阻尼C=0,则所论系统是保守系统。

我们定义系统的无阻尼 固有频率为:1J K /M临界阻尼C c 的定义为使（）式中根式项等于零的阻尼值:C c 2MJK/M而临界阻尼分数或阻尼比Z 1为：Z 1二CC ,阻尼有时也有用品质因数即Q 因数表示:Mx t Cxt Kx t ft2-9把上面的时间域方程变换到拉氏域复变量 P,并假设初始位移和初始速度为零，则得到拉氏域方程：Mp 2CpFp ，或 ZpXp Fp Z 动刚度经过变换可得传递函数的定义，HZ 1p 即 Xp HpFpHp——p 2 C/M p K/M2-10J21,2C/2M VC/2M K /M2-112-42-5Q 1/ 2 12-6系统按阻尼值的大小可以分成过阻尼系统（Z 1>1）、临界阻尼系统（Z 1=1）和欠阻尼系统（Z 1<1）。

过阻尼系统的响应只含有衰减成分、没有振荡趋势。

欠阻尼系统的响应时一种衰减振动，而临界阻尼系统则是过阻尼 系统与欠阻尼系统之间的一种分界。

实际系统的阻尼比很少有大于 10%的，除非这些系统含有很强的阻尼机制，因此我们只研究欠阻尼的情形。

在欠阻尼的情况下式2-11两个共轭复根:其中1为阻尼因子1为阻尼固有频率。

有关系统极点的另外一些关系式 有:1j j 1 122-92-10 2-112-2式写成如下形式:1/M2-12在展幵成部分分式形式，则有:这里的A 和A 是留数。

1 1 j1， 1 1 j12-72-8 H P —A 」—，这里 AP 1 P 11/M j2 12-13多自由度系统多自由度系统可以用简单的力平衡代数方程演化成形式相似的一个矩阵的方程。

下面是以而自由度系统为例。

如图:多自由度系统该系统的运动方程如下:写成矩阵形式是可以得到传递函数矩阵为:adj Z P Z p |传递函数矩阵含有幅值函数。

M 1X 1 C ] C 2 X 1 t M 2 X 2 C 2 C 3 X 2 t C 2X 2 t C 2X 1 tK 1 K 2K 2 X-, t K 2X 2 t K 3 X 211tK 2X 1 tf 2 t2-14M 10 X0 M 2 X 2 C1 C2C2C 2C 2 C 3X 2K 1 K 2K 2K 2X 1 K 2 K 3X 2f 22-15或者M2-16其中［M 、［q 、［的、｛f(t) ｝和｛x(t) ｝分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵、方向量和响应向量。

把这个时间域的矩阵方程变换到拉氏域(变量 为P )且假定初始位移和初始速度为零，则得:p 2M pC2-17或者是 Z p X p式中：［Z(p )］ 动刚度矩阵 2-182-19式中 adj Z p : Z p 的伴随矩阵，等于ij ZijijZ ij : Z p 去掉第行第列后的行列式ij如果i j 等于偶数；如果i j 等于奇数；2-19式中的分母，即是 Z P 的韩烈士,叫做系统的特征方程。

与单自由度情况一样，系统特征方程的根，即系统极点，决定系统的共振频率。

根据特征值问题，可以求出系统特征方恒的根。

为了把系统方程 化为一般的特征值问题公式，加入下面的恒等式:2-20将此式与2-17式结合在一起得:2-21其中pX X如果力函数等于零，那么式2-19就成了关于实值矩阵的一般特征值问题，其特征值马祖下列方程的 P 值:2-222N 个呈复共轭对出现的特征根:2-23部r 是阻尼固有频率。

（三）实模态和复模态按照模态参数（主要指模态频率及模态向量）是实数还是复数，模态 可以分为实模态和复模态。

对于无阻尼或比例阻尼振动系统，其各点的振2-17 转 F' 它的根就是特征方程Z P 0的根对于 N 各自由度系统，此方程有同单自由度系统一样，多自由度系统的极点的实部 r是阻尼因子，虚对于无阻尼结构, t 时刻第r 阶模态k 点的振动为X krkr Y rSin r t r粘性比例阻尼：t时刻第 r 阶模态k 点的振动为般粘性阻尼：t X krr tkr Y r e rSin dr tr时刻第 r 阶模态k 点的振动为其中，r R kl 为留数；r 和V r 构成的复数为系统的复特征值 拟合频段复模态理论中传递函数在k 点激励f 点响应的留数表达式为由（1）、（ 2）式中可以看出，传递函数共振峰处复模态的相位与实模态相 位的差别在于多出的复留数相位r，由传递函数的逆变换可以得到脉冲响应函数，由此可以得到物理坐标系中结构的自由响应表达式。

动相位差为零或180度，其模态系数是实数，此时为实模态；对于非比例 阻尼振动系统，各点除了振幅不同外相位差也不一定为零或 180度，这样模态系数就是复数，即形成复模态。

1 复模态与实模态理论在拟合频段, 实模态理论中传递函数在 k 点激励Z 点响应的留数表达式H kir R kle jr2rarcta n ——rk,l 1,2, ,nr :r rjV rnH ki ()I r Rkl k rr R kle j rrl2j rVrr 12 J r 2V rrarctan ------ rV rk ， l 1， ， nx kr 2T r kr e mr t cos 'dr t r kr (5)式中，© kr表示振型幅值；Q表示模态频率；0表示相位角。

可以看出，无阻尼和比例阻尼系统的初相位与初始条件有关，与物理坐标无关，具有模态（振型）保持性；而一般粘性阻尼系统的初相位还与物理坐标k 有关，每个物理坐标振动时并不同时达到平衡位置和最大位置，不具备模态保持性，是行波形式．但各物理坐标的相位差保持不变，各点的振动周期、衰减率仍保持相同J ．从物理坐标点的自由响应公式还可看出，即使各测点留数为复数，但如果留数的相位差，即振型的幅角相同，那么还是可以得到振动周期内形状不变且节点固定的振型．这样模态虽是复模态，但表现出实模态的性质．因此实模态理论的实振型与复模态理论中复模态的差别在于各测点峰值相位差的大小．2 实模态提取方法复模态理论中模态参数（特征值和特征向量）均为复数，在进行结构模型修正时大量采用复数矩阵和复数迭代运算，计算工作量大，效率低；实模态理论中模态参数为实数，物理概念明确，后续结构模型修正计算公式简单，计算工作量小又节约空间，故实模态得到广泛的应用，实际测试得到的传递函数留数一般都为复数，要由复模态经过实模态提取技术才能得到实模态。