功能梯度涂层中的 型周期裂纹问题PERIODIC C RAC K PROBLEM OF MODE IN FUNC TIONALLY GRADED COATINGS黄干云 1 汪越胜2 余寿文1(1.清华大学工程力学系,北京100083)(2.北京交通大学工程力学研究所,北京100044)HU ANG GanYun1 WANG YueSheng2 YU Shou Wen1(1.Department o f Engineering Mechanics,Tsinghua University,Beijing100084,China)(2.Institute o f Engineering Mechanics,Bei j ing Jiaotong University,Beijing100044,China)摘要 利用分层模型研究功能梯度涂层中的 型周期裂纹问题,借助Fourier级数及传递矩阵技术,可将该边值问题化为求解Hilbert奇异积分方程,数值求解该方程即可得到应力强度因子。

数值结果表明,当裂纹较密且裂纹相对较短时,裂纹之间的相互作用比较明显;材料剪切模量在厚度方向上的变化对应力强度因子具有较大的影响。

关键词 功能梯度材料 涂层 周期裂纹 反平面 应力强度因子中图分类号 O346.1 T B34Abstract Based on a new mult-i layered model,problem of a periodic array of cracks i n a functionally graded coati ng bonded to a homogeneous substrate has been investigated.Employment of Fourier series and transfer matri x method reduced the boundary value prob-lem to the solution of a Hilbert sin gular integral equation.Numerical solution of the equation yields the stress intensity factors.Results reveal that interacti on between densely located cracks for shorter cracks is evident and the varying form of shear modulus of the coatin g can influence the values of stress in tensity factors significantly.Key words Functionally graded material;C oating;Periodic array of crack;Antiplane;Stress intensity factorCorrespon ding author:YU ShouWen,E-ma il:yusw@mails.tsin ,Fax:+86-10-62781824Manuscript received20040430,in revi sed form20040715.1 引言功能梯度材料由于其参数在一定空间方向上连续变化,而能有效消除传统复合材料中的材料参数界面不匹配问题,从而提高复合材料的界面性能,因此具有非常重要的应用前景。

然而裂纹开裂仍然是一种重要的失效形式,目前已有不少工作研究了功能梯度材料中的裂纹问题[1~4],但是这些工作都是假定材料性质按特定的函数形式如指数函数[1~3]或者幂函数[4]变化,而实际材料的性质往往不按照那些函数形式变化;另外文献[5,6]的结果表明,材料性质的变化对裂纹尖端应力强度因子的大小有影响,因此有必要研究梯度材料参数按任意连续函数变化时的裂纹问题。

在这方面,Wang等利用层合板模型研究了一系列的典型裂纹问题[7]。

由于该模型仍存在材料参数的间断,沿用层合板模型的分层思想,对梯度材料分层,假设材料性质在每分层中按线性函数变化,进而研究功能梯度材料中一些典型的单裂纹问题。

结果表明这样的模型收敛速度更快,其中部分详细结果可见文献[5,6],本文旨在利用该模型,进一步研究梯度材料涂层中的 型周期裂纹问题。

2 问题与求解考虑如图1所示的问题,厚度为h0的梯度涂层与均匀半无限大体连接,在界面上有一列以2l为周期、长为2c的裂纹,设梯度材料的剪切模量为已知的连续函数,在涂层表面取值为 0,在界面上等于均匀体的剪切模量 *,若将梯度材料划分成N层,根据文献[5](y) j(y)= j(a j+b j y)h j<y<h j-1 j=1,2, ,N (1)其中 j为剪切模量在第j个界面处的取值,且 j= j(h j)= (h j)a j=h j-1-h j j-1 jh j-1-h jb j=j-1 j-1h j-1-h j在反平面问题中,控制方程为Journal of Mechanical Strength机 械 强 度2004,26(S):097~099黄干云,男,1976年12月生,江西新干人,汉族。

清华大学工程力学系博士后,研究方向为非均匀材料及智能材料的断裂损伤。

20040430收到初稿,20040715收到修改稿。

2w j +1 j (y )d j (y )d yw jy=0j =1,2, ,N ; 2w N +1=0 (2)这里 2为Laplace 算子,w j 为第j 层的位移。

若裂纹面上的位移间断记为 w ,裂纹所占区域为 ,并考虑外载- 0作用在裂纹面上,则问题的有关边界条件可写为y z (x ,h 0)=0, y z j (x ,h j )- y z j +1(x ,h j )=0w j (x ,h j )-w j +1(x ,h j )= w j N(3) y z (x ,0)=- 0 x(4)j N 为Kronecker 符号。

由于问题的周期性,位移、裂纹面上位移间断和应力可展开为 w j , y z jT=n =-w j (n ,y ), y z j (n ,y )T e-in x l(5)w =n =-w (n )e-in x lw (n )=12lc-cw (x )e-in x ld x(6)将方程(5)代入式(2),并利用式(1)可得位移和应力的通解,对n 0有S j =dw j , yzjT=[T j (y )]C j =I 0( j )K 0( j )j n I 1(j ) l - j n K 1( j )l C j 1C j 2(7)S N +1=dw N +1, N +1T=[T N +1(y )]B C N +1,1=es y es y*se s y- *s e-s yB C N +1,1(8)其中 j =n (a j +b j y ) b j l ,I k ( ),K k ( )(k =0,1)为修正的Bessel 函数,C j k (k =1,2)为待定常数,j =1,2, ,N ,B =1,0T;而当n =0时,容易证明对应的 y z j (0,y )为0,因此以后将不予考虑。

利用边界条件(3)可以得C j =P jS(9)其中 S =w ,0T,P j 是2 2矩阵,由于篇幅所限,这里不给出其具体形式。

将式(9)代入式(7),然后再利用式(4)得 yz (x ,0)=n =-0,1[M ]y =01,0Tw (n )e-i n x l=- 0 x(10)[M ]=[T N (y )]P N 为传递矩阵。

而位移单值条件要求w (x )=n =-w (n )e-i n x l=0,x (11)不失一般性,以下将在一个周期内(如x l )求解裂纹问题,引入辅助函数(x )=x[ w (x )]或w (x )=x-c(t )d t ,x[-c ,c ](12)将它代入式(6)后再代入方程(10)和(11)可得yz (x ,0)=n =- ,n 00,1[M ]y =01,0Ti 2nc-c(u )e in (u -x ) ld u =- 0,x(13)c-c(u )d u =0(14)容易证明0,1[M ]y =01,0Tl n 在n 趋近 时趋近-sgn(n ) *2,另外利用n=1sgn(n )ei n (u -x ) l=icot (u -x ) 2l (15)可将方程(13)化为Hilbert 奇异积分方程*4lc -c(u )cot (u -x ) 2l d u + c-cQ (u ,x ) (u )d u =- 0 x (16)其中Q (u ,x )=-n =10,1[M ]y =01,0Tl n +*2sin n (u -x ) l l方程(16)可仿照文献[8]进行数值求解。

根据应力强度因子的定义K=lim x c2x c 1 2yz (x ,0)则K=( *2)cF ( 1)(17)这里 F ( )= (c )(1- 2)1 23 算例与讨论本节将给出几个算例,着重考察周期以及材料剪切模量变化对应力强度因子的影响。

为此,首先假设材料剪切模量具有下列形式(y )= *eln( 0*)y h(18)在数值计算时应先确定分层数目,试算表明分层数为6时即可保证结果的精度,由于篇幅,这里不给出具体结果。

基于此,图1给出 *0=10时不同周期下裂纹应力强度因子随c h 0的变化情况,结果表明,当c h 0相对较小时,周期越小裂纹应力强度因子越大;随着c h 0增大,不同周期对应力强度因子的影响相对较小;另外,周期l c 为5和10时,两者的结果几乎一098机 械 强 度2004年图1 不同周期对应力强度因子的影响Fig.1 Effect of periods on the strees i nfensity factors图2 剪切模量变化规律对应力强度因子的影响Fig.2 Effect of the forms of shear modulus on the s tress intensity factors致,这说明此时周期的影响可以忽略,可看作无限大体中的单个裂纹。

为了考察不同剪切模量对应力强度因子是否有影响,分别假设(y)= *+( 0- *)sin( y 2h0)及(y)= *+( 0- *)(y h0)2(19)取 * 0=10,l c= 1.5,计算裂纹应力强度因子随c h0的变化情况。

结果分别见图2,为了比较方便,该图还给出相同参数下剪切模量按式(18)变化时的结果。