X
i: f xi 0

f xi ai
因此，只有当 分存在，其值为


i: f xi 0


0, # A A , # Ac
则 具有有限可加性但无可列可加性，因而不是测度。
例5 设X x1 ,是一个可列集而 是由X的一切子集组成的 域。 x2 , T 如果每个 对应着一个非负实数 ，则 ai xi

A ai , A T
A R A
A
R
g x dx g x I x dx 为g在集合A上的L的积分。
A R A
A F

设f是
X x1 , x2 , 上的广义实值函数，那么不难看出

X
f d
i: f xi 0

f xi ai ; f d

XHale Waihona Puke f d , f d
X

则称其积分存在或积分有意义；如果满足
max
X
f d , f d
X

则称其是可积的。上述两种情况下，把

X
d f d f d
X X
叫做f的积分或积分值。

根据定义，非负可测函数的积分总是存在的 对于一般可测函数，只有当它的积分存在时才能定义 它的积分，可测函数的积分可以是 或- 积分值是有限的当且仅当这个可测函数是可积的。
测 度 论
之
测度空间
空间
域
测度
外侧度
集合系
非负集函 数
可测集
可测函数
可测空间
BR
可测映射
域
开集（闭）
映射
极限点

空间
非空集合X
返回
集合系
以空间X中的一些集合为元素组成的集合
返回
域
满足 X F , A F F 称为 域。
C
A F , An F , n 1, 2, An F

fI 设 AF 只要可测函数 的积分存在或可积，我们就分别 AF 说f在集合 上的积分存在或可积，并且把
A

叫做f在任何
A
fd

A
fI A d
上的积分。 AF
AF
可以证明：只要可测函数f的积分存在，则它在任何 上的积分也存在。
积分的几何意义

命题 设f(x)是E上的可测函数，若f(x)在E上有积分，则 f x dx mG E , f mG E , f E
返回
如果 是外测度，则 F 是一个 域，X , F , 是一个完全 测度空间。
Carathedory定理
定义：如果 的任一零测集的子集还属于 F ，即 A F , A 0 B F , B A,
则称测度空间是完全的。
返回
准分布函数
习惯上，人们把R上非降右连续实值函数F叫做准分布 函数。 凡满足 F lim F x 0和F lim F x 1的准分布 x x 函数F称为分布函数，简记为 d . f .
可测映射
返回
从可测空间 X , F 到 R,BR 的可测映射称为 X , F 上的可 测函数。 特别地，从 X , F 到 R,B 的可测映射称为 X , F 上的有 限可测函数或随机变量。
R
可测函数
返回
Borel集合系
BR 叫做R上的Borel集合系 ，其中的集合称为R中的 Borel集 以OR记由R中的开集组成的集合系
BR OR
返回
闭集
设E R n 若E E（即E包含E的一切极限点）,则称E为闭 集（规定空集为闭集），记 E E E ,并称 E '为E的闭包。 (E的闭集就是 E E' )
'
'
返回
极限点
记 E R n , x R n 若存在E中的互异点列 x ，使得lim x x 0 则称X为E的极限点(聚点),E的极限点的全体记 E ' ,称为E 的导集.显然,有限集是不存在极限点的。
xi A
是T 上的测度，而 X , T , 形成一个测度空间。
定理2.2.1
由X的所有子集组成的集合系 T 到 R 的函数 称为X上的外 测度，如果它满足： （1） 0
对任何A B X有 A B （2）
（3）对任何 An T , n 1, 2, 有 An An n 1 n 1
n n 1
可列可加性
An An n 1 n 1
则称 具有可列可加性。
返回
测度
公理化定义： 设E 是X上的集合系且E 。如果E 上的非负集函数 有可列可加性并且满足 0 ，则称之为E 上的测度。
+ + +
斯蒂尔杰斯（1856～1894） Stieltjes，Thomas Jan 荷兰数学家。1856年1 2月29日生于兹沃勒，1894年12月31 日卒于法国图卢兹。早年在代尔夫特综合技术学校学习。 1877～1883年在莱顿天文台工作。后迁居巴黎，1886年获得科 学博士学位。同年任图卢兹大学教授，直至去世。 + 斯蒂尔杰斯最重要的贡献是推广了黎曼积分概念。1894年 他发表了论文《连分数的研究》，文中提出了在解析函数论和 一元实变函数论中本质上是全新的问题，为了表示一个解析函 数序列的极限，他引进了一种新的积分——斯蒂尔杰斯积分， 这种积分后来成为研究一般测度上的积分的开端，在现代数学 中起到重要作用。他还研究了发散级数，并在1886年与H.庞加 莱彼此独立地给出了一个级数渐近于一个函数的定义，以后又 继续研究发散级数的连分式展开（1894），为连分式解析理论 的研究奠定了基础。与此相关，他还提出了“矩量问题”，研 究了正交多项式、近似积分法等经典分析课题。
如果对每个AE 还有 A ，则称 测度是有限的 ；如果对 每个AE 存在满足 A 的 A E , n 1, 2, 使得 A A ，则称 测度 是 有限的

n
n
n
n 1
返回
例2 设 X ,E 是一可测空间。如果x是X上的一个给定元素，对每 个 ，令 AE
可测空间
返回
映射
设X,Y为两个非空集合，若对每个 x X ，均存在唯一 的y Y 与之对应，则称这个对应为映射。
返回
给定可测空间 X , F 和 Y , S 以及X到Y的映射f。如果 f 1S F （集合系S 在映射 f 下的原像），就把f叫做从 X , F 到 Y , S 可测映射或随机元。
有限个两两不相交的集合 Ai X , i 1, , n 如满足 就把它称 A X 为空间X的一个有限分割。 , i 1, 2, , n Ai 称为可测空间 如果对每个 i 1, 2,则X的有限分割 , n X ,F 的有限可测分割。 X R 对于可测空间 X , F 上的函数 f :如果存在有限可测分割 i ai , i 1, 2, , n 和实数 Ai F , 使1, , n f a I 则称之为简单函数。 简单函数总是可测的，简单函数的线性组合还是简单 函数。
外测度
关系
可见外测度是 T 上具有半可列可加性的非负集函数，且外 测度也是半有限可加的。
返回
空间X加上它的子集形成的 域F 再加上F 上的一个测 度 ，三位一体形成的 X , F , 称为测度空间.如果 N F 而且 N 0 ，则称N为 的零测集。 如果测度空间 X , F , P 满足P X 1 ，则称它为概率空间， F 对应的P叫做概率密度。在概率空间 X , F , P 中， 中的 集合A又称为事件，而 P A称为事件A发生的概率。

i i 1
n
n
i 1
i Ai

简单函数的积分


X
d ai Ai
i 1
n
非负可测函数的积分


X
d sup

X
gd : g非负简单且g f

一般可测函数的积分
定义3.1.1
测度空间 X , F , 上的可测函数f如果满足
min

设g是对准分布函数F而言的L-S可测函数。如果g对 F 的 积分存在，则这个积分称为g对F而言的L-S积分，记作
如果
则称
A F F

A
gdF g x dF x
R

R
d F
gdF gI dF 为g在集合A上对F的L-S积分。特别地，如果L可测函数g 对Lebesgue测度 的积分存在，则称之为L积分，记为 g x dx gd 如果 则称
n 1

的集合系
返回
给定空间X上的集合系E 。定义在E 上，取值于 0, 的函数称为非负集函数，用希腊字母 , , 等记之。 即 集合 0，
非负集函数
返回
设 是E 上的非负集函数。如果对任意可列个两两不交 的集合 A1 , A2 ,E 只要 A E 就一定有
F
F
F
F
F
F
返回
Stieltjes integral + 黎曼-斯蒂尔杰斯（简记为R-S）积分和勒贝格-斯蒂 尔杰斯（简记为L-S）积分的统称。由荷兰数学家斯蒂尔 杰斯提出，故名。函数 f(x) 关于函数 g(x)的(R-S)积分用 f(x)dg(x) 表示，是黎曼（简记为R） 积分的直接推广， 当 g(x)=x 时，就是微积分中的(R)积分，它在物理中的应 用尤为重要，因为它能对连续分布的质量和集中分布的 质量统一用一个积分公式进行计算，(L-S)积分是关于(LS)测度的一种积分，(L)积分是它的特殊情形，(L-S)积分 在概率论中有着十分重要的应用。 + (R-S)积分与(L-S)积分一般来说没有必然的关系，只 在一定条件下，能以(R-S)可积推出(L-S)可积，此外，运 用(L-S)测度理论可得到(R-S)可积的一个充分必要条件。