dv 2
a 2
dt
2
j
j
(3) x 2t y 2 t2 轨迹方程为 y 2 x2 / 4
例2.
已知
a 16
求
v
j
, t =0 时，v0
和运动方程
6i ,
r0
8k
解 由已知有
dv
a
16
j
dt
代入初始条件
v
-v0
16t
j
v
dv
t
16dt j
v0
0
v
6i
16t
dv x dt
i
dv y
j
a
dt axi
dv
z
k
d
2
dt dt
ay j azk
x
2
i
d2 dt
y
2
j
d2z dt 2
k
ax
dv x dt
d2x dt 2
,
ay
dv y dt
d2 dt
y
2
,
az
dv z dt
d2z dt 2
大小为
a
ax2
a
2 y
az2
方向用方向余弦表示为
t)
r (t)
t
t
矢量
Δr
的方向
(average velocity)
r(t)
r
• r(t t)
2. 瞬时速度 平均速度的极限值(dt 内位矢的平均变化率)
v lim r(t t) r(t) dr
t 0
t
dt
v
dr
dt
反映了t时刻质点运动的状态－瞬时性
矢量性－方向沿轨迹的切线方向
t t
A •
r(t)
O•
2.
瞬时加速度
a lim
v(t
a
t0 dv
t)
t
dv
v(t)
dv dt
d2r dt 2
dt dt
v(t t)
• B
r(t t)
v(t) v
v(t t) v
由基本关系式
v
dr dt
a
dv dt
有：
dx dt
xˆ
dy dt
yˆ
dz dt
zˆ
a
d x
dt
xˆ
d y
迹方程的问题。
由加速度三个分量
ax
dv x dt
d2x dt 2
,
ay
dv y dt
d2 y dt 2
,
az
dvz dt
d2z dt 2
的定义可得（移项后左右积分所得）
vx v0x
z P(x1, y1, z1)
•
r
r (t1)
y
x
• O
r (t2
)
•
Q (x2, y2, z2 )
(x2 x1)i ( y2 y1) j (z2 z1)k
二. 速度
1. 平均速度
2. 瞬时速度
v
r
x
i
y
j
z
k
v
t
dr
d
t
(xi
yj
t
zk )
t
dx
i
dy
j
j
dr v dt
代入初始条件
r r0
dr
t 0
( 6i
16t
j )dt
r0
8k
r
6t
i
8t
2
j
8k
例2 已知 位置矢量为
r(t) a cos2 ti bsin 2 tj
求:(1)质点的运动轨迹； (2)质点的运动速度及加速度；
(1)运动轨迹可由运动方程消去时间参数t得到
r
• P’
(1) 路位程移是是算矢术量量（有大小r，有s方向）
O • r(t t)
lim r lim s
dr ds
t 0
t 0
(2) 位移与坐标系位置的变化无关
r
位矢与坐标系位置的变化有关
(3)
r r(t t) r(t)
r
O•
r
位移矢量
r = r(t +t ) - r(t )
反映 t 内质点位置的移动(大小、方位)
dt
4 2r
说明加速度方向总是负位矢方向，指向椭圆中心
例题3 ：一质点作平面运动，已知加速度为 ax A2 cost,
Ba≠y 0。B初始2 s条in件t为t=，v00时其x ，中0A, 、v0By 、 Bω均, 为x0正 常A,数，y0 且0A≠B, A≠0,
求该质点的运动轨迹。
解 这个问题是已知加速度和初始条件求运动方程，进而求出轨
单位 A A A0 矢量
A0 1
A
Axi
Ay
j
Az kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Axiˆ
Ay
ˆj
Az kˆ
Axeˆx Ayeˆy Azeˆz
二. 矢量的运算
B
• 加减 C AB
C
A
• 点乘（标积）Ax Bx i Ay By j Az Bz k
Q A B ABcos
s
s
P•
A。直角坐标下 x x(t) y y(t) z z(t)
B。自然坐标下
s f (t)
意义: 已知运动学方程，可求质点运动轨迹、速度和加速度
例 一质点作匀速圆周运动，半径为 r ，角速度为 。
求 用直角坐标、位矢、自然坐标表示的质点运动学方程。
解 直角坐标表示的质点运动学方程
x r cos t, y r sin t
坐标系
z
P
(2) 常用坐标系
直角坐标系（ x , y , z ）
球坐标系（ r,θ, ） 柱坐标系（ , , z ）
y
O 参考系
x
自然坐标系 ( s )
惯性系 以加速度a为判别依据
三. 确定质点位置的常用方法
z 1. 直角坐标法 P(x, y, z) 2. 位矢法
P (x, y, z)
质点某时 刻位置P 由有向线段
*矢量的“差之模”和“模之差 ”
一般 |r| r 区分几个概念 (1)位置矢量和位移矢量有何不同? (2)位移和路程(path)有何不同? ·“状态量”与“过程量”
二. 速度 ( 描述质点运动快慢和方向的物理量 ) (velocity)
1. 平均速度 Δt 内位矢的平均变化率
v
Δr
r (t
物理学所研究的是物质运动最基本、最普遍的形 式。它包括：
•机械运动 •电磁运动 •原子、分子的热运动 •原子、分子内部的运动
•力学 •电磁学 •分子动理论与热力学 •近代物理学
微观物质（宏 观的延拓）
高速运动 宏观物质
低速运动
二、物理学的重要地位和作用 1、物理学与三次工业革命
牛顿力学的建 立与热力学的 发展
位矢表示为
r
xi
yj
r
costi
r
sin
tj
y
y
r
• P (x, y) s
• O
ωt x
•O'
x
自然坐标表示为 s rt
§1.2 质点的位移、速度和加速度
一. 位移 (displacement vector)
PP'
r (t
t)
r (t)
r
位移反映了质点位置的变化。
s
O•'
r(t)
P
• s
求 (1) t =1s 到 t =2s 质点的位移 (2) t =2s 时 v ，a
(3) 轨迹方程
解
(1)
由平r运均动速r2方度程r1v得(4rr12)i22ii(32jj
1)
j
r2
4i
2i 3 j
2j
(2)
v
当t
dr
2i
dt
=2s 时
t 2t j v2 2
i
4
j
a
d 2r dt 2
注意速度与速率的区别
速率 v v dr ds dr dt dt dt
平均速率不等于 平均速度的模
v
s
v
t
vA B’’ B'
B
A
三. 加速度 (acceleration)
1. 平均加速度 Δt 内速度的平均变化率
v(t)
a
v
v (t
t) v (t)
t t
矢量
a
Δ v 的方向
v v
质点系 物体的形状可忽略，物体可看作有质量的点的集合
刚体 物体的形变可以忽略，形状体积不能忽略
二、坐标系，参考系，惯性系
坐标系：以原点，坐标轴为判别依据
参考系： (frame of reference) 以速度V为判别依据，用来描 述物体运动而选作参考的物体或物体系。
(1) 运动学中参考系和坐标系可任选。
x(t) a cos 2 t y(t) b sin 2 t (2)根据速度的定义
( x)2 ( y)2 1 ab
v( t ) d r 2a sin 2 ti 2b cos 2 tj
dt
v
v
2 x
v
2 y
2
a2 sin2 2 t b2 cos2 2 t
求加速度
根据定义
a d v 4 2a cos 2ti 4 2b sin 2tj
Ax Bx Ay By Az Bz
• 叉乘（矢积）
i jk