OB AB
∴x（x-5）+y（y-2）=0
即 x2+y2 – 5x – 2y=0
①


又 OB AB
∴x2+y2=（x-5）2+（y-2）2 即 10x+4y=29 ②
2019/11/13
由①、②解得：

x1


y1

7 2

3 2
或x2

y
2

3 2 7 2
(2)、若a、b的夹角是锐角，求x的取值范围
2019/11/13
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8. 已知在ABC中,OAOB OB OC OC OA, 则O是ABC 的 _______ 心.
[解] 由OAOB OB OC得：
OB (OA OC) 0, 即OB CA 0 OB CA,同理OC AB,OA BC,
它的方向 (1) 当λ≥0时,λa 的方向 与a方向相同； (2) 当λ＜0时,λa 的方向 与a方向相反.
其实质就是向量的伸长或缩短！
2019/11/13
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二、向量的坐标表示
y
1.以原点O为起点的 OA a ,
a
A(x, y)
a j
a xi y j 向量的正交分解O i
平面向量(复习课)
2019/11/13
上海市向东中学 姜玉文
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一、向量的初步
1.定义：
既有大小又有方向的量叫向量
2.向量的表示：
向量的几何表示 : 用有向线段表示
向量的符号表示 : AB 或 a
3.特殊向量：零向量 :
单位向量 :
a0

a |a|
４.向量之间的关系：
平行向量（: 共线向量） 相反向量 : 相等向量：

a‖
b
分为同向和反向
a
（平行四边形法则）
b a b
|
c
c ||
a
|

|
b
|
c
a
|
c
|
|
a
|

|
b
|
|| a | | b ||| a b || a | | b |
2019/11/13
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7、实数与向量 的积
定义：λa是一个 向量.
它的长度 |λa| = |λ| |a|；
2019/11/13
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七.应用举例
1.a,b均不为零,则 a b a b 是a // b的( A )
( A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分又不必要条件
2.向量a,b 满足 a 8, b 12则 a b 的最大值
是 __2_0__，a b 的最小值是____4_____
[解析] OB OC 2OM
OA (OB OC ) 2OA OM
2 OA OM cos180 2 OA OM
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即OA OM 2,
OA OM
OA OM (
)2 1
2
当且仅当OA OM 时取等号.
OA (OB OC ) 2
②对实数的结合律成立：ab a b a b R ③分配律成立： a b c a c b c c a b
④乘法公式成立：
a b a b a2 b 2 a 2 b 2 ； a b 2 a2 2a b b 2 a 2 2a b b 2
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3.已知点A（1，1）, B(4,5),点C在直线AB上， 且CA 3 AB，求点C的坐标。
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4.已知ABC是边长2为的正三角形， 求： (1)AB AC及AB BC
(2)AB BC CA AB BCCA
a在b方向上的投影
| a | cos a b
|b|
2
a
|
a
|2
a , b 的夹角公式
cos a b
x1x2 y1 y2
| a || b |
x12 y12 x22 y22
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平面向量数量积的运算律： ①交换律成立： a b b a
x
a (x, y)
A(x1, y1)
2．已知 A(x1, y1)，B(x2, y2) 求 AB
y
B(x2, y2 )
AB (x2 x1, y2 y1)
O
x
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向量的模（长度）
3. 设 a = ( x , y ), 则 a x2 y2
4. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别 为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则
a AB x1 x2 2 y1 y2 2
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向量的坐标运算
设向量 a （x1，y1），b （x2，y2）则
a b (x1 x2, y1 y2 )
说明：两个向量和 与差的坐标分别等
a b (x1 x2, y1 y2 )
的2倍,设计时需使tanA+2tanB有最
小值,试确定D点的位置.
2019/11/13
A
B
D
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a

b

(
3
,
4
)
a b
1
即（a

b）2＝5 a52

2a
b

b 2＝1
a

b＝
1
2
cos

a
b
ab

1 2
[0 ,180 ] 120
a

b
2

a
2

2a
b

b2

3
ab

2
a

b
的最小值是-
3 2
, 求的值.
例3:平面向量OA=(1,7),OB=(5,1),OP=(2,1),点M为直线OP
上的一个动点.
(1)当MA MB取最小值时,求OM的坐标; (2)当点M满足(1)的条件和结论时,求AMB的余弦值.
2019/11/13
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例6:一轮船以20海里/小时的速度向正东方向航行,
(1)a / /b(b 0) a b;
(2)a / /b(a (x1, y1),b (x2, y2),b 0) 向量 垂直x1充y2要条x2件y1的两种形式:
(1)a b a b 0
(2)a b a b
向量相等的充要条件

x1 x2

y1 y2
它在A点时测得灯塔P在船的北600东,2小时后
船到达B点时测得灯塔P在船的北450东,求 :
(1)船在B点时与灯塔P的距离;
(2)已知以点P为圆心,55海里为半径的圆形水域内
有暗礁,那么这船连续向正东航行,有无触礁的危险?
练习: 如图, ABC是一屋顶的横断面,
C
CD AB于D,横梁AB的长是竖梁CD长
3
2019/11/13
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15、如图，E是正方形ABCD的边AB延
长线上的一点，F在BC上，且BE=BF， 用向量的坐标法证明：AF⊥CE
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D
C
F
A
BE
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3、已知三个力 f1、f2、f3 作用于同一质点,且 | f1 | 20, | f2 | 30, | f3 | 40 (单位:牛)若三个力在同一平面
∴点
B
的坐标为(
7 2
,
3) 2
或(
3 2
,
7 2
)
AB

(
3 2
,
7) 2
或
AB

(
7 2
,
3) 2
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2019/11/13
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例
14.已知
a
b


1
，且
a

b

( 3 , 4)
55

求：① a 与 b 的夹角θ ；② a b
解：
内且两两的夹角都为1200,求合力的大小和方向
y
B
f2
oθ
A f1
x
f3 C
2019/11/13
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例2:已知向量a (cos 3 x,sin 3 x),b (cos x , sin x),
22
2
2
且x

0,2

,求
:
(1)a
;
(2)若f
(x)

a
b
5.已知ABC，AC 3, BC 4, AB 5 求： AB AC
2019/11/13
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2
2
2
2
2
解：∵ a 2e1 e2 2e1 e2 4e1 4e1e 2 e 2

4
e1
2

e2
2

4
e1