《大学数学》（高起专）学习中心：专业：学号：姓名：完成时间：第一章函数作业（练习一）一、填空题: 1.函数x x x f -+-=5)2ln(1)(的定义域是_]5,3()3,2(2.函数392--=x x y 的定义域为),3(]3,(+∞⋃--∞3.已知1)1(2+=-x e f x，则)(x f 的定义域为()+∞-,1 4.函数1142-+-=x x y 的定义域是),2[]2,(∞+--∞ 5.若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x二、单项选择题：1.若函数)(x f y =的定义域是[0，1]，则)(ln x f 的定义域是 ［ C ］ A .),0(∞+ B .),1[∞+ C .]e ,1[ D .]1,0[2.函数x y πsin ln =的值域是 ［ D ］ A .]1,1[- B .]1,0[ C .)0,(-∞ D .]0,(-∞3.设函数f x ()的定义域是全体实数，则函数)()(x f x f -⋅是 ［ C ］ A.单调减函数 B.有界函数 C.偶函数 D.周期函数4.函数)1,0(11)(≠>+-=a a a a x x f xx ［ B ］ A.是奇函数 B.是偶函数 C.既奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数 5.若函数221)1(xx xx f +=+，则=)(x f ［ B ］ A.2x B.22-x C.2)1(-x D.12-x6.设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f = ［ D ］ A ． x B ．x + 1 C ．x + 2 D ．x + 37.下列函数中，( )不是基本初等函数。

［ B ］A ．x y )e 1(=B ．2ln x y =C ．x x y cos sin =D ．35x y =8.设函数⎩⎨⎧>≤=0,00,cos )(x x x x f ，则)4(π-f = ［ C ］A ．)4(π-f =)4(πf B ．)2()0(πf f = C ．)2()0(π-=f f D ．)4(πf =22 9.若函数1)e (+=x f x，则)(x f = ［ C ］ A . 1e +xB . 1+xC . 1ln +xD . )1ln(+x10.下列函数中=y ( )是偶函数. ［ B ］ A . )(x f B . )(x f C . )(2x f D . )()(x f x f --三、解答题： 1.设⎩⎨⎧<<≤≤=e1ln 10)(x x x xx f ，求：(1))(x f 的定义域；(2))0(f ，)1(f ，)2(f 。

解：（1）分段函数的定义域是各区间段之和，故)(x f 的定义域为)e ,0[)e ,1(]1,0[=（2）10≤≤x 时，x x f =)( 0)0(=∴f ，1)1(=fe 1<<x 时，x xf ln )(= 2ln )2(=∴f2.设⎩⎨⎧>≤--=00,1)(x x x x x f ,⎩⎨⎧>-≤=0,0,)(2x x x x x g 求复合函数))(()),((x f g x g f 。

解:()()⎩⎨⎧>-≤--=0,10,12x x x x x g f ()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--<+-≤≤---=0,1,101,122x x x x x x x f g3．（1）xxaa x f -+=)( (0>a )；解:()()x f a a x f xx =+=-- ()x x a a x f -+=∴为偶函数（2）xxx f +-=11ln)(解:()()x f x x x x x f -=+--=-+=-11ln 11ln()xxx f +-=∴11ln为奇函数 （3）)1ln()(2x x x f ++= 解:()()()()x f x x xx xx x f -=++-=++=++-=-2221ln 11ln1ln ,()()21ln x x x f ++=∴为奇函数4.已知x x f sin )(=，()()21x x f -=ϕ，求)(x ϕ的定义域 解：()()()()()221arcsin ,1sin xx x x x f -=∴-==ϕϕϕ , 故()x ϕ的定义域为22≤≤-x第二章 极限与连续作业（练习二）一、填空题： 1.sin lim___1_____x x xx→∞-=2.已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则=a __2___，=b __8___。

3.已知∞=---→)1)((lim0x a x be x x ，则=a ___0__， =b __≠1___。

4.函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0101sin)(x x x xx x f 的间断点是x =__0___5.极限=→xx x 1sinlim 0__0__ 6.当1≠k 时，⎩⎨⎧<+≥+=001)(2x kx x x x f 在0=x 处仅仅是左连续。

7.要使xxx f cos 1)(-=在0=x 处连续，应该补充定义=)(o f __0___。

二、单项选择题：1.已知0)1(lim 2=--+∞→b ax x x x ，其中a ,b 是常数，则 [ c ]A. 1,1==b aB. 1,1=-=b aC. 1,1-==b aD. 1,1-=-=b a 2.下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。

[ B ] A.e 1xx ,()→∞ B.sin ,()xx x →∞ C. ln(),()11+→x x D.x x x +-→110,()3.下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是 [ C ] A.)(1sin∞→=x xx y B.())(1∞→=-n n y n C.)0(ln +→=x x y D.)0(1cos 1→=x xx y 4,)(0,arctan 121)(11x f x x ee xf xx是则=+-=的 [ A ]A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点5.若)1()(--=x x ae xf x ，0=x 为无穷间断点，1=x 为可去间断点，则=a [ C ]A.1B.0C.eD.e -1三、计算应用题： 1.计算下列极限： （1）2)31(lim +∞→+-x x x x （2）2)1sin(lim 21-+-→x x x x （3）x x x 33sin 9lim 0-+→ （4）1245lim 224--+-→x x x x x （5）)1113(lim 21----→x x x x （6）526(12)(32)lim(1)(23)x x x x x x →∞-++-- 解：（1）1ln3lim 1221lim()3x x x x x x x e x →∞-+++→∞-=+22341ln1(3)3lim lim 4112(2)x x x x x x x x x →∞→∞+--++==--++ 241lim()3x x x e x +-→∞-=+（2）2)1sin(lim21-+-→x x x x =)2)(1()1sin(lim 1+--→x x x x = 21lim 1)1sin(lim 11+--→→x x x x x =31311=⨯（3）对分子进行有理化，即分子、分母同乘33sin 9++x ，然后利用第一重要极限和四则运算法则进行计算．即x x x 33sin 9lim-+→=)33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =33sin 91lim 3sin lim00++⨯→→x x x x x =21613=⨯（4）将分子、分母中的二次多项式分解因式，然后消去零因子，再四则运算法则和连续函数定义进行计算．即 1245lim 224--+-→x x x x x )3)(4()1)(4(lim 4----=→x x x x x 33414)3()1(lim 4=--=--=→x x x （5）先通分，然后消去零因子，再四则运算法则和连续函数定义进行计算，即)1113(lim 21----→x x x x =)1)(1()1()3(lim 1+-+--→x x x x x 112lim 1-=+-=→x x（6）))32)(1()23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x =))32)(11()213()21(lim 625xx x x x x --++-∞→ =2323)2(65-=⨯- 2.设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin 001sin )(x x x x a x b x x x f问（1）b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处有极限存在？（2）b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续？ 解：（1）要)(x f 在0=x 处有极限存在，即要)(lim )(lim 0x f x f x x +-→→=成立。

因为b b x x x f x x =+=--→→)1sin(lim )(lim 01sin lim )(lim 00==++→→xxx f x x所以，当1=b 时，有)(lim )(lim 0x f x f x x +-→→=成立，即1=b 时，函数在0=x 处有极限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时a 可以取任意值。

（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是)()(lim )(lim 00x f x f x f x x x x ==+-→→于是有a f b ===)0(1，即1==b a 时函数在0=x 处连续。

3.已知82lim232=-++→x bax x x ，试确定a 和b 的值。

解：82lim232=-++→x bax x x ()048lim 232=++=++∴→b a b ax x x ,即a b 48--= ()[]8124422lim 284lim 2lim 22232232=+=++++=---+=-++∴→→→a a x a x x a ax x x b ax x x x x ,1-=∴a 故4-=b4.求xe e x xx 1arctan11lim110-+→ 解：+∞=+→xx e 1lim , 0lim 10=-→xx e,21arctan lim 11lim 1arctan 11lim 0110110π=-+=-++++→--→→x ee x e e x xxx x xx ,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-+---→→→x e e x e e x x xx xxx 21arctan 11lim 110π=-+∴→x e e xxx5.设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0 ,)(11x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型。