e
j / k B T
1
j k BT )
2
CV k B (
T 0
1 e
j / k BT
CV 0
—— 与实验结果相符
5-2晶体热容的量子理论（Einstein、Debye模型）
一个频率为ωj振动模对CV贡献 C (
j V
dE j (T ) dT
( )V k B
m
m
g ( ) d
0
2 e / kBT 晶体总的热容 CV k B ( ) g ( )d / k BT 2 k BT ( e 1) 0 3 V 2 e / k T 3 kB ( ) 2 d 2 2 C 0 k BT ( e / k T 1) 2
E
（2）低温情况（Ｔ<<θE):
因为 : e T 1 所以, CV 3 Nk B (
E
结论：
E
T
) e
2

E
T
(1)T处于低温段时实验
值与理论不符；
(2)T趋近于0时理论结
—— 按温度的指数形式降低
T 0时, e

E
T
果与实际符合较好；
0，CV 0
5-2晶体热容的量子理论（Einstein、Debye模型）
5-2晶体热容的量子理论（Einstein、Debye模型）
对纵波：ω=Clq
q空间q的分布密度
qz
q dq
q q dq
范围的模式数： dnl
V ( 2 )
V 2 2 C
2 3 l
3
4q dq
2
q
qx
g t ( )
qy
d Cl dq
g l ( ) dnl d
计算晶格热容CV的理论模型 Ⅰ. Einstein模型
模型要点：
即忽略 q 存在.
（1）认为晶体中所有原子都以相同的频率振动，设为ω0 （2）晶格振动能量是量子化的。
体系规定: N个原子组成，共3N个频率为ω0的振动。
5-2晶体热容的量子理论（Einstein、Debye模型）
j 一个振动模的平均能量 E (T ) 1 j j j / k B T 2 e 1
如何确定振动频率分布函数 g ( ) 和m？
5-2晶体热容的量子理论（Einstein、Debye模型）
g ( ) 确定？
dn
频率在 d 之间振动模式的数目
单位频率间隔内的振动模式数目 g ( )
dn d
Debye 模型将晶体作为弹性连续介质处理，
C l q （纵波一支） N个原子组成晶体的色散关系： C t q （横波两支）
同理,对横波ω=Ctq
V 2 2 2 C t3
g ( ) g l ( ) 2 g t ( )
令
V 2 2 3
C
3
2
(
1 Cl 3
Cl
3


2 Ct 3
Ct
3
)
g ( )
V 2 2
2

3 C
3

3
3
5-2晶体热容的量子理论（Einstein、Debye模型）
m确定？格波总数目3 N
j
CV k B
—— 与杜隆－ 珀替定律相符
5-2晶体热容的量子理论（Einstein、Debye模型）
一个频率为ωj振动模对CV贡献 C (
j V
dE j (T ) dT
( )V k B
j k BT
j
j
) 2 e k BT
( e k BT 1) 2
低温极限
k B T j
E j T
振动模
)V
先计算平均能量
一个频率为ωj谐振子（振动模）
再计算对CV贡献
5-2晶体热容的量子理论（Einstein、Debye模型）
一个频率为ωj的谐振子能级 占据 E j 概率：Pn j Ce
E j ( n j ) j 2
e
nj n j / k B T n j / k B T
E
Einstein模型讨论:
E
（１）高温情况（Ｔ>>θE):
E
e

2T
1
1
E
2T
( )2 T
eT
E

2
1
E
(e
T
1)
(e
2T
e
E 2T
)
2
(
E
2T

E
2T
E
)
2
C V 3 Nk B
5-2晶体热容的量子理论（Einstein、Debye模型）
e E / T 2 晶体热容 CV 3 Nk B ( ) E /T 2 T (e 1)
问题1：晶体比热的实验规律？如何利用理论解释？ 一、晶体比热的实验规律 经典？量子？
1、高温时，晶体的比热为3NkB(N为晶体中原子个数）；
2、低温时，晶体的比热按T3趋于零。
二、求解CV的一般方法 CV (
a e CV CV CV
E
)V E 指晶体的平均内能 T
晶格振动比热
晶体电子比热
120
115
D
110
105
100 0 5 10 15 20 25
T(K)
金属铟的Debye温度随T的变化
5-2晶体热容的量子理论（Einstein、Debye模型）
Debye模型评价：
（1）忽略晶体的各向异性； （2）忽略光学波和高频声学波对热容的贡献。
5-2晶体热容的量子理论（Einstein、Debye模型）
Einstein理论与实验比较图
6 5 4 3 2 1 0 0.0
Cp(J/mol.K)
0.2
0.4
T/
0.6
0.8
1.0
圆点为金刚石实验值，温度以θE=ω0/ħ为单位。
5-2晶体热容的量子理论（Einstein、Debye模型）
Einstein模型评价：
前提假设过于简单，忽略各格波的频率差别. Ⅱ. P.Debye模型 模型要点：
2
0 k BT

E
T
E C V 3 Nk B T
E
eT ( e T 1) 2
E
金刚石 E 1320 K
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ大多数固体
E 100 K ~ 300 K
理论计算和实验结果比较
5-2晶体热容的量子理论（Einstein、Debye模型）
e E / T 2 晶体热容 CV 3 Nk B ( ) E /T 2 T (e 1)
( e 1)

2
d
12 T 3 CV (T / D ) R( ) 即Debye的T3定律 15 D
结论（1）德拜模型高温下或甚低温下，与实验相符；—T3成正比
（2）Debye理论得不同温度下ΘD同（实验上ΘD应该是与T有关）
5-2晶体热容的量子理论（Einstein、Debye模型）
m B B
N 1/ 3 m C [6 ( )] V
2
令
德拜温度 D m k BT kB
D
CV (T / D ) 9 R(
T 3 ) 3( ) 德拜热容函数 f D ( T D
D / T
T
D /T

0
D 4 e

)3
2

0
4 e
(e 1)
0 CV 3NkB f B ( ) k BT
fB (
0 k BT
)(
0 k BT
)2
e 0 / k B T (e
0 / k B T
1)
2
—— 爱因斯坦热容函数
5-2晶体热容的量子理论（Einstein、Debye模型）
令
0 kB
E (称爱因斯坦温度），则

2
d
( e 1)
d
CV (T / D ) 3Rf D (
5-2晶体热容的量子理论（Einstein、Debye模型）
D T
)
T 3 ) 3( ) 德拜热容函数 f D ( T D
D
D / T

0
4 e
( e 1)

2
d
Debye模型讨论:
在高温极限下 1 k BT
j k BT
j k BT
j
) 2 e k BT 1)
2
(e
晶格总热容
设晶体中包括N个原子，共3N个简谐振动模式，则总热容：
CV
CV
j
3N
j
可见， j C V C V
j
对于具体晶体，计算3N个简正频率十分复杂.
5-2晶体热容的量子理论（Einstein、Debye模型）
e (e
j / k B T
j / k B T
1) 2
j
物理上，遇到以下这一类求和问题时，可变为积分
f (
j
j
) g ( ) f ( ) d
其中g(ω)表示单位频率间隔内的振动模式数目，称态密度.
m
CV

0
2 e / kBT kB ( ) g ( )d / k BT 2 k BT ( e 1)
j 3 3 N 0 晶体总能量 E ( 1 ) N 0 / k T j j / k B T e 1 2 e 0 B 1 j 1 2