计算方法习题5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ Ｃ ）.A ．)(h o Ｂ．)(2h o Ｃ．)(3h o Ｄ．)(4h o三、计算题1．求矛盾方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2423212121x x x x x x 的最小二乘解。

22122122121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x xx x ϕ，由0,021=∂∂=∂∂xx ϕϕ得：⎩⎨⎧=+=+9629232121xx xx ， 解得149,71821==x x。

2．用4=n 的复化梯形公式计算积分⎰211dx x，并估计误差。

⎰≈++++≈21697.0]217868581[81x dx ，9611612)(2=⨯≤M x R 。

3．用列主元消元法解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++426453426352321321321x x x x x x x x x 。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1142242644223214264426453426352回代得：Tx )1,1,1(-=4．用雅可比迭代法解方程组：（求出)1(x ）。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----131410*********x x x因为Ａ为严格对角占优阵，所以雅可比法收敛。

雅可比迭代公式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=+=+++ ,1,0,)1(41)3(41)1(41)(2)1(3)(3)(1)1(2)(2)1(1m x x x x x x x m m m m m m m 。

取Tx )1,1,1()0(=计算得：Tx )5.0,25.1,5.0()1(=。

5．用切线法求0143=+-x x 最小正根（求出1x ）。

．因为0875.0)5.0(,01)0(<-=>=f f ，所以]5.0,0[*∈x ，在]5.0,0[上，06)(,043)(2≥=''<-='x x f x x f 。

由0)()(0≥''x f x f ，选0=x ，由迭代公式：,1,0,4314231=-+--=+n x x x x x n n n n n计算得：25.01=x 。

四、证明题1． 证明：若)(x f ''存在，则线性插值余项为：1010),)((!2)()(x x x x x x f x R <<--''=ξξ。

2. 对初值问题：⎩⎨⎧=-='1)0(10y y y ，当2.00≤<h 时，欧拉法绝对稳定。

１．设))()(()()()(),)()(()(111x t x t x k t L t f t g x x x x x k x R ----=--=，有xx x ,,10为三个零点。

应用罗尔定理，)(t g ''至少有一个零点ξ，!2)()(,0)(!2)()(ξξξf x k x k f g ''==-''=''。

２．由欧拉法公式得：0~1~y y oh y y n n n --=-。

当2.00≤<h 时，则有0~~y y y y n n -≤-。

欧拉法绝对稳定。

练习题第2套参考答案 一、填空题1． 71828.2=e 具有3位有效数字的近似值是（ 21102-⨯，）。

2．用辛卜生公式计算积分⎰≈+101xdx （ 1x x++ ）。

3．设)()1()1(--=k ij k a A第k 列主元为)1(-k pka ，则=-)1(k pka（ 21x =， ）。

4．已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2415A ，则=1A （())(434)1(232)1(1313331m m m x a x a x a b a ---++ , ）。

5．已知迭代法：),1,0(),(1==+n x x n n ϕ 收敛，则)(x ϕ'满足条件（0()0f x > ）。

二、单选题1．近似数21047820.0⨯=a 的误差限是（ C ）。

Ａ．51021-⨯ Ｂ．41021-⨯ Ｃ．31021-⨯ Ｄ．21021-⨯ ２．矩阵Ａ满足（ ．D ）,则存在三角分解A=LR 。

A ．0det ≠A Ｂ．)1(0det n k A k <≤≠ Ｃ．0det >A Ｄ．0det <A３．已知Tx )5,3,1(--=，则=1x （ B ）。

Ａ．９ Ｂ．５ Ｃ．－３ Ｄ．－５ ４．已知切线法收敛，则它法具有（ ．A ）敛速．Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次５．设)}({x P k为勒让德多项式，则=))(),((53x P x P （ B ）。

Ａ．52 Ｂ．72 Ｃ．92 Ｄ．112三、计算题１．已知)(x f 数表：求抛物插值多项式，并求)5.0(f 近似值。

利用反插值法得211(0)(0)(04)(04)(02) 1.75224f N ==⨯+-⨯++= ２．已知数表：x０ １ ２ y－２０ ４求最小二乘一次式。

由方程组：01014648614102a a a a +=⎧⎨+=⎩，解得：013,6a a ==，所以xx g63)(*1+=。

３．已知求积公式：)21()0()21()(21110f A f A f A dx x f ++-≈⎰-。

求21,,A A A ，使其具有尽可能高代数精度，并指出代数精度。

10118881[]0.4062282910113dx I x =≈++++≈+⎰，21|()|0.001321216768M R f ≤=≈⨯ 。

４．用乘幂法求⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=410131014A 的按模最大特征值与特征向量。

因为2211123,1,4a a a πθ====122220022223104002222013000302222003002001001A ⎡⎤⎤-⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以：1122334,3,(0,1,0)2,(22T TT X X X λλλ======-５．用予估－校正法求初值问题：⎩⎨⎧=-='1)0(2y yx y 在4.0)2.0(0=x 处的解。

应用欧拉法计算公式：nn n y x y 1.12.01+=+ ，1,0=n ，1=y。

计算得121.1, 1.23y y ==。

四、证明题１．设)(A ρ是实方阵Ａ的谱半径，证明：A A ≤)(ρ。

1． 因为A=(A-B)+B,A A B B≤-+，所以A B A B-≤-，又因为B=(B-A)+A, B B A A≤-+所以B A B A A B-≤-=-B A A B-≤-２．证明：计算)0(>a a 的单点弦法迭代公式为：nn n x c acx x ++=+1， ,1,0=n 。

等价求5xa -=的实根，将54(),'()5f x xa f x x =-=代入切线法迭代公式得：51441(4),0,1,...55n n n n n nx a ax x x n x x +-=-=+=。

《计算方法》练习题二练习题第3套参考答案 一、填空题1．近似数30.6350010a =⨯的误差限是（210- ）。

2．设|x|>>1,1x x +=（ ()1G ρ<， ）,计算更准确。

3．用列主元消元法解：121223224x x x x +=⎧⎨+=⎩，经消元后的第二个方程是（111n n n n x x an x x x --+++=),2,1( =n ， ）。

4．用高斯—赛德尔迭代法解4阶方程组，则(1)3m x +=( 1.2， )。

5．已知在有根区间[a,b]上,'(),''()f x f x 连续且大于零，则取0x 满足（2(,)22n n n nf x y k ++ ），则切线法收敛。

二、选择题1．已知近似数a 的()10/0r a ε=，则3()ra ε=（ c ）。

A. 10/0B. 20/0C.30/0D.40/02．设{()}KT X 为切比雪夫多项式，则22(().())T X T X =（b ）。

A.0 B 4π. C.2πD. π 3．对6436A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦直接作三角分解，则22r =（ d ）。

A. 5B. 4C.3D. 2 4．已知A=D-L-U ，则雅可比迭代矩阵B=（ c ）。

A.1()D L U -+ B.1()D L U -- C.1()D L U-- D.1()D U L--5．设双点弦法收敛，则它具有（ a ）敛速。

A. 线性B.超线性C.平方D. 三次 三、计算题 1． 已知()f x 数表用插值法求()0f x =在[0，2]的根。

3sin 0.5828510π≈≈，222()0.5821052400R ππ-≤≈⨯。

2．已知数表X12y -4 -2 2求最小二乘一次式。

2．222(,)(4)(3)(26)x y x y x y x y ϕ=+-+--+--，由0,0x yϕϕ∂∂==∂∂ 得6219235x y x y -=⎧⎨-=⎩，解得：474,147x y ==。

3．用n=4的复化辛卜生公式计算积分102dxx+⎰，并估计误差。

3．由221110482n-≤⨯解得3n ≥，取n=3，复化梯形公式计算得：1011661[]0.4067262783dx x ≈+++≈+⎰。

4．用雅可比法求310130003A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的全部特征值与特征向量。

4．120112011201231201100110012101210011⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦回代得：(1,1,1)TX =-5．用欧拉法求初值问题'2(0)1y x yy =+⎧⎨=⎩在x=0(0.1)0.2处的解。

5．因为3311122,1,4aa a πθ====12220020130022220100200100201020012220A ⎡-⎢⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以Tx )22,0,22(,311==λTx )0,1,0(,322==λTx )22,0,22(,333-==λ四、证明题 1． 证明：A B A B-≤-。

2． 5a 141(4),0,1,...5n n nax x n x +=+=1．设pxx ∞=，则有∑∑==≤≤ni i p n i i x x x n 122121，221x xn∞≤≤2．因为迭代函数是()(),'()1'()x x f x x f x ϕαϕα=-=-，当120m α<<时则有11'()1f x α-<-<，即|1'()||'()|1f x x αϕ-=<，所以迭代法收敛。