6
626
复化 Simpson 公式
h
ba 2n
,
xj
a
jh
( j 0,1,,2n)
x2 j2
x2 j1
x2 j
I( f )
n j 1
h 3
[
f
(
x2
j2
)
4
f
(
x2
) j 1
f (x2 j )]
Sn( f )
n j 1
h 3
[
f
(
x2
j
2
)
4
f
(
x2
j 1
)
f ( x2 j )]
b a
则迭代格式为
xk 1
2
x3 k
1
取初值 x0 0
x1
2
x3 0
1
1
x2
2
x3 1
1
3
x3
2
x3 2
1
55
由此可见，这种迭代格式是发散的
(2) 如果将原方程化为等价方程 x 3 x 1 2
仍取初值
x0 0 x1 3
x0 1 3 2
1 0.7937 2
x2 3
x1 1 3 1.7937 0.9644
h(1 f (xn1, y(xn1)) f (xn , y(xn )) 1 f (xn1, y(xn1)))
y(xn1) ( y(xn ) y(xn1))
h(1 y(xn1) y(xn ) 1 y(xn1))
y(xn ) hy(xn )
h2 2
y(xn )
h3 6
y(xn )
计算方法复习
Final Exam Review
典型概念例题
零 绪论
误 差 及 算 法
误差 算法
分类 度量 传播
舍入 截断
绝对 相对 有效数字 一元函数
n元函数
一 插值与逼近
工具
插值法 多项式插值
分段多项式 插值
差商 差分 插值基函数 存在唯一性 误差估计 插值公式 Hermite插值 分段线性
分段三次Hermite插值
2/8 0.9896158
T8
h 2
f
(a)
2
7 k 1
f (xk )
f (b)
3/8 0.9767267 4/8 0.9588510
1 82
f
(0)
7
2 k 1
f k 8
f
(1)
5/8 0.9361556 6/8 0.9088516
=0.9456909
7/8 0.8771925 1 0.8414709
h4 24
y(4) (xn ) O(h5)
y(xn )
[ y(xn ) hy(xn )
h2 2
y(xn )
h3 6
y(xn )
h4 24
y(4) (xn ) O(h5)]
h1[ y(xn ) hy(xn )
h2 2
y(xn )
h3 6
>0,当x0∈[x*- , x*+ ]时, 迭代法产生的序列 {xk}[x*- , x*+ ]且收敛于x*.
例4 用一般迭代法求x3-x-1=0的正实根x*
解 将方程变形成等价形式：x 3 x 1
则迭代函数为: g( x) 3 x 1
g( x)
1
2
3( x 1) 3
容易得到: g’(x)在包含x*的某邻域U(x*) 内连续， 且|g’(x*)|<1
因此f(x)=0在(2, )内仅有一个根x*
将方程化为等价方程：x＝2＋lnx
g(x) 2 ln x | g( x) || 1 | 0.5 x ∈(2, 4) x
因此， x0(2, ), xk+1＝2＋lnxk产生的序列 xk 收敛于x*
取初值x0＝3.0,计算结果如下：
k xi 0 3.000000000 5 3.145702209 10 3.146191628
f (x)dx Af ( ) Bf (0) Cf () 2
代数精确度尽可能高，并确定上述公式的代数精 确度。是否为高斯型求积公式.
解
f x 1
2
dx 4 A B C
2
令:
f x x
2
xdx 0 A C 2
f x x2
2 2
x2dx
16 3
A
2
C
2
f x x3 2 x3dx 0 A 3 C 3 2
因此迭代格式 xk1 3 xk 1 在x*附近收敛
例5 用一般迭代法求方程x-lnx＝2在区间(2, )内的根， 要求|xk-xk-1|/|xk|<=10-8
解 令f(x)=x-lnx-2 f(2)<0, f(4)>0,故方程在(2,4)内至少有一个根
又 f ( x) 1 1 0 x ∈(2, ) x
定理3 设线性方程组x=Bx+g有惟一解，那么逐次逼 近法对任意初始向量x０收敛的充分必要条件是
迭代矩阵B的谱半径 ( B ) <1
证明
x* Bx* g
xk1 Bxk g
xk1 x* B(xk x*) Bk1(x0 x*).
因此
lim(
k
xk
1
x* )
0
lim
k
Bk 1
0
同积分的准确值I(f)=0.9460831比较,复化梯形法 的结果T8=0.9456909只有两位有效数字, 而复化
Simpson法的结果S4=0.9460832却有六位有效数字.
三 线性方程组
直接法
Gauss消去法 矩阵三角分解法 追赶法 向量和矩阵范数 矩阵条件数
三 线性方程组
迭代法
基本概念 雅可比迭代
h2 2
y(xn )
h3 6
y(xn )
h4 24
y(4) (xn ) O(h5)
y(xn1) y(xn h)
y(xn ) hy(xn )
h2 2
y(xn )
h3 6
y(xn )
h4 24
y(4) (xn ) O(h5)
f (xn1, y(xn1)) y(xn1) y(xn h)
Jacobi 迭代
x1
k
1
x2k
1
a 2
x(k) 2
1 2
x(k) 3
b1 2
x1 k
2x3(k) b2
x3k
1
x1k ax2(k )
b3
(2) 线性方程组
2 a 1 2 0 0 0 a 1
1 1
1 a
2 1
1 1
1 a
0 1
0 0
0 0
2 0
Gauss-Seidel迭代矩阵:
2
三次样条插值
预备知识
范数 内积 正交多项式
函数逼近
最佳一致逼近 最佳平方逼近 最小二乘拟合
函数逼近方法 三角函数逼近
帕德逼近
例1 观测物体过原点的直线运动,得到所示数据, 求运动方程.
时间t/s 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0
距离s/m 0 10 30 50 80 110
解 作直线模型: at+s=0
另一种迭代格式
xk 1
xk (1 lnxk ) xk 1
0 3.000000000 1 3.147918433
2 3.146193441 3 3.146193221
五 常微分方程数值解
重要概念
数值解法
重要构造方法 单步法
局部截断误差
方法精度 差分构造 积分构造 泰勒展式构造
线性多步法
方程组与高阶方程
所以代数精确度为5次.
因为代数精确度为2×3=5次,是高斯型求积公式.
标准Simpson公式:
1
1
4
1
I ( f ) f (t)dt S( f ) 2[ f (1) f (0) f (1)]
1
6
6
6
x abbat 22
b
I ( f ) a f (x)dx
S( f ) (b a)[(1 f (a) 4 f (b a) 1 f (b))]
1 3.098612289 6 3.146037143 11 3.146192714
2 3.130954362 7 3.146143611 12 3.146193060
3 3.141337866 8 3.146177452 13 3.146193169
4 3.144648781 9 3.146188209 14 3.146193204
牛顿迭代法 插值型迭代
弦截法 抛物线法
§2 单个方程的迭代法
一、不动点迭代
f (x) = 0 等价变换 x = g (x)
f (x) 的 根
g (x) 的不动点
f(x)=0化为等价方程x=g(x) 的方式是不唯一的,有的收 敛,有的发散 For example：2x3-x-1=0
(1) 如果将原方程化为等价方程 x 2x3 1
f (x)dx
h[ f (a) 4 n
3
j 1
n1
f ( x2 j1) 2
j 1
f ( x2 j )
f (b)]
例1 对于函数 f (x) sin x 试用数据表计算积分
x
I
(
f
)
1sin
0 x
x
dx
x f (x)
0
1
解 将区间[0,1]划分为8等分,应用复 1/8 0.9973978