第二章 随机过程的基本概念
3.贝努利过程 设每隔单位时间掷一次硬币,观察它出现 的结果。如果出现正面,记其结果为1;如果 出现反面,记其结果为0。一直抛掷下去,便 可得到一无穷序列
{ xn;n 1 , 2, ;且xn 1或0 }
因为每次抛掷的结果是一个随机变量(1或0), 所以无穷次抛掷的结果是一随机变量的无穷序列, 称为随机序列,也可称为随机过程。 每次抛掷的结果与先后各次抛掷的结果是相互独 立的,并且出现1或0的概率与抛掷的时间n无关。
设
P{ xn 1 }= p (第 n 次抛掷出现正面的概率)
P{ xn 0 }= q = 1p (第 n 次抛掷出现反面的概率) 其中 P{ xn 1 } = p 与 n 无关, 且 xi 、 xk (i k 时)是相互独立的随机变量。
称具有这种特性的随机过程为贝努利型随机过程。 注 如果固定观测时刻t,则它的试验结果是属于两个 样本点(0,1)所组成的样本空间。
三、随机过程的分类 1、按参数集和状态分类 离散参数
参数 分类
参数集T的是一个可列集T={0,1,2,…} 连续参数 参数集T的是一个不可列集 T {t | t 0}
状态 分类
离散状态
取值是离散的
X (t )
连续ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ态 取值是连续的
T离散、I离散
参数T 状态I 分类
T离散、I非离散(连续) T非离散(连续) 、I离散 T非离散(连续) 、I非离散(连续)
仅与时刻t n1 的状态有关,
而与过程在时刻 t n 1 以前的状态无关,
称这个特性为马尔可夫性,简称马氏性。 马氏性实质上是无后效性,所以也称马氏过程 为无后效过程。
(4)平稳随机过程 平稳过程的统计特性与马氏过程不同,它不 随时间的推移而变化,过程的“过去”可以对 “未来”有不可忽视的影响。
,„,t n T
X (t 2 ) X (t1 ) , X (t3 ) X (t 2 ) ,„,X (t n ) X (t n1 )
是相互独立的,
则称 X (t ) 为具有独立增量的随机过程。
(3)马尔可夫过程
t1 t2, 设{ X (t ) ,t T }对任意 n 个不同的
且 t1 t 2 t n1 t n
二维 概率 密度
F (t1 , t 2;x1 , x2 ) =
x1
x2
f (t1 , t 2;y1 , y2 )dy1dy2
则称 f (t1 , t 2;x1 , x2 ) 为X (t ) 的二维概率密度
n维 分布 函数
n 维随机向量( X (t1 ) , X (t 2 ) ,„, X (t n ) )
第二章
随机过程的基本概念
第一节 随机过程的定义及其分类 第二节 随机过程的分布及其数字特征
第三节 复随机过程
第一节
随机过程的定义及其分类
一、直观背景及例 例1 电话站在时刻t时以前接到的呼叫次数 一般情况下它是一个随机变数X ,并且依赖 时间t,即随机变数X(t),t[0,24]。 例2 研究某一商品的销售量 一般情况下它是一个随机变数X ,并且依赖 时间t,即随机变数X(t),t=1,2,…
例: 英国植物学家Brown注意到漂浮在液面上 的微小粒子不断进行无规则的运动。这种运 动叫做Brown运动,它是分子大量随机碰撞的 结果。记 X t , Y t 为粒子于时刻t在平面 坐标上的位置,则它是平面上的Brown运动。 在统计物理中对它有深入的研究。 例: 到达总机交换台的呼叫次数为Poison过程。 每次呼叫是相互独立的,而间隔时间服从指 数分布,交换台在同一时刻只能接通 K 个呼 叫。人们常要了解在某一时刻的排队长度以 及呼叫的平均等待时间,这是一种排队模型。
如何描述这样的变化过程:
1. 如果对其变化过程的全过程做一次观察,得到一个位置
与时间关系的函数x1(t ),若再次观察,又得到函数 x2(t ),… ,因而得到一族函数. 2. 如果在时刻t观察质点的位置x(t ),则x(t )是一个随机变 量,这样对于每个时刻t便得到一个随机变量X(t ),于是我
称为随机过程 X (t ) 的均值函数, 或称为数学期望。
t T
说明 m(t ) 是 X (t ) 的所有样本函数在时刻 t 的函数值的平均,
它表示随机过程 X (t ) 在时刻 t 的摆动中心。
2.方差函数
随机过程{ X (t ) , t T }的二阶中心矩
D(t ) D[ X (t )] E[( X (t ) m(t ))2 ]
=
x1
x2
xn
f (t1 , t 2 ,, t n;y1 , y 2 ,, yn )dy1dy2 dyn
例1 袋中放有一个白球,两个红球,每隔单位时 间从袋中任取一球,取后放回,对每一个确定的t 对应随机变量
t , X (t ) 3 t e ,
称为随机过程 X (t ) 的方差函数。
说明
均方差函数
D(t ) 的平方根 (t )
D(t ) ,
它表示 X (t ) 在各个时刻 t 对于 m(t ) 的偏离程度。
3.协方差函数
为描述不同时刻过程状态的关联关系,需要 计算协方差函数.
随机过程 X (t ) 在 t1 , t 2 T 的状态 X (t1 ) 和 X (t 2 ) ,
如果在二个不同时刻 t1 , t2 观测试验结果
则样本空间出现的值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)
则{ x1 , x 2 }是一个二维随机变量。
例:(分枝过程)一个个体(第0代)可能生产 0,1,2……
个子女形成第一代,每一个子女再生子女,他们合在一 起形成第二代,等等,假定第n代的个体数目为Xn,则 {Xn, n=0,1,2….}是随机过程。
们就得到一族随机变量{X(t),t≥0},(最初始时刻为t=0),
它描述了此随机的运动过程.
二、随机过程的定义 1.随机 过程 设E是随机试验, {}是它的的样本 空间,T是一个参数集,若对于每一个t T 都有随机变量 X (t , ),与之对应, 则称依赖于t的随机变量 X (t , ) 为随机 过程,或称为随机函数, 通常记作
X(t1,ω)
X(t2,ω)
x(t,ω1) x(t,ω2) x(t,ω3)
t1
t2
tn
例5 X(t,ω) = acos(bt+Θ), Θ~U(0, 2π)
ω1 =5.4938
ω2 = 1.9164
ω3 = 2.6099
定义2.1.2 对每一固定 ω Ω ,称 X t (ω) 是随 机过程 { X ( t , ), t T } 的一个样本函数. 也称轨道, 路径,现实.
例3
国民收入问题 随着各种随机因素的影响而随机变化, 一般地有 Y (t ) C (t ) I (t ) 其中C(t)、I(t)分别表示t年的消费和积累。
汶川余震序列图2008.5.12(2:28)~2008.7.8(8:00)
随机过程
表示依赖于一个变动参量的一族随机变量。它 虽然不能用一个确定的函数来描述,但也是有 规律的。
,„,t n T
X (t1 ) , X (t 2 ) ,„, X (t n ) 是相互独立的
则称 X (t ) 为具有独立随机变量的随机过程,
简称独立随机过程。
(2)独立增量随机过程
t1 t2, 设{ X (t ) ,t T }对任意 n 个不同的
且 t1 t 2 t n1 t n
它反映了 X (t ) 的“随机”性;
对于每一个0 ,
X (t ) 是一个确定的样本函数,
它反映了X (t ) 的变化“过程” 。
2. 随机过程的理解
称 T Ω {( t , ω) : t T , ω Ω} 为集合T 与Ω的积集. 随机过程 X (t , ω) 可看成定义在积集 T Ω 上的二元函数: 1)当固定 t T , X t (ω) X (t , ω) 是一个定义 在(Ω, T, P)随机变量; 2)当固定 ω0 Ω(对于特定的试验结果),作 为 t T 的函数,x( t , ω 0 )是一个定义在T 上的 普通函数.
,„,t n T
P( X (t n ) xn | X (t n1 ) xn1 ,„,X (t1 ) x1 )
= P( X (t n ) xn | X (t n1 ) xn1 ) ,
则称 X (t ) 为马尔可夫过程
简称马氏过程。
马氏过程的特点
当随机过程在时刻 tn1 的状态已知的条件下, 它在时刻 tn (t n t n1 )所处的状态
1. 关注对象是一族随时间或地点变化 的随机变量; 2. 需要研究这一族随机变量的整体或局 部统计规律性;
现实世界中的许多现象是随时间的进展而变化与 发展的,这些现象通常称为过程。可分为两类:
(1)确定性的变化过程
(2)不确定的变化过程
如果质点在一个随机的力(它由各种随机因素形成) 的作用下,那么质点的运动也是随机的。
第二节 随机过程的分布及其数字特征
一、随机过程的分布函数
一维 分布 函数
设{ X (t ) ,t T }是一个随机过程,
对于固定的t1 T ,X (t1 ) 是一个随机变量,
其分布函数为
F (t1;x1 ) P{X (t1 ) x1} ,t1 T
X (t ) 的一维分布函数。 称 F (t1;x1 ) 为随机过程
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二、随机过程的数字特征
在实际应用中,很难确定出随机过程的有限 维分布函数族,过程的数字特征能反映其局部统 计性质.需确定各类数字特征随时间的变化规律.