l
x x 0 2 2
l
ql
q
2
ql 3 dx 12EWz
6-10
图示截面梁，由№18 工字钢制成，截面上的弯矩 M = 20kN· m，材料的弹性模
量 E = 200GPa，泊松比 = 0.29。试求截面顶边 AB 与上半腹板 CD 的长度改变量。
题 6-10 图 解：1.截面几何性质 工字钢截面大致形状及尺寸符号示如图 6-10。
bh3 h 3 d 2 h2 12 12
dI z 12 d 2 h 2
由此得
h
3 d d， b d 2 h 2 2 2
3
6-8
图 a 所示简支梁，由№18 工字钢制成，弹性模量 E = 200 GPa， a=1m。在均布
C ,max
由此得
qa 2 E C 4Wz
q
代入式（a） ，得
4 E CWz a2
M max
于是得梁的最大弯曲正应力为
9 E CWz 8
max
M max 9 E C 9(200109 Pa)( 3.0104 ) 67.5MPa Wz 8 8
3. 应力计算（解法二） 横截面 C 底部的弯曲正应力为
题 6-13 图 解：1.画剪力、弯矩图 左、右支座的支反力大小均为 F / 3 ，方向是左向上、右向下。据此可画剪力、弯矩图示 如图 6-13a 与 b。
图 6-13 2．求单元体两端面上的应力及其合力 单元体两端面及纵截面上的应力分布情况示如图 c，最大弯曲正应力和剪应力值分别为
σ1max
M 1 6 Fa 2 Fa Wz 3bh2 bh2 M 4 Fa σ 2 max 2 2 Wz bh
a 3a b , h 2 2
所以，ADB 对 z 轴的惯性矩为
2 bh3 bh h bh3 1 a 3a 3a 4 36 2 3 12 12 2 2 64 3
I z ,t
中部矩形截面对 z 轴的的惯性矩为
I z ,r
a (2h ) 3 a 3a 3a 4 2 12 12 2 4
载荷 q 作用下，测得截面 C 底边的纵向正应变 = 3.010-4，试计算梁内的最大弯曲正应力。
题 6-8 图 解：1. 内力分析 梁的弯矩图如图 b 所示，横截面 C 的弯矩为
MC
梁内的最大弯矩则为
qa 2 4 9qa 2 32
(a)
M max
2. 应力计算（解法一） 横截面 C 底部的弯曲正应力为
6
6-12
图 a 所示矩形截面悬臂梁，杆端截面承受剪切载荷 F 作用。现用纵截面 AC 与
横截面 AB 将梁的下部切出，试绘单元体 ABCD 各切开截面上的应力分布图，并说明该部分是 如何平衡的。
题 6-12 图 解： 1. 单元体的应力分析 梁内各横截面的剪力相同，其值均为 F；在固定端处，横截面上的弯矩则为 M (0) Fl 与上述内力相对应，单元体各截面的应力如图 b 所示。在横截面 AB 上，弯曲切应力按抛 物线分布，最大切应力为
M Wz μ σ max E
AB b
bM
EWz

0.29 0.094 20 103 m 200109 185106
1.474105 m 0.01474mm
3．计算上半腹板 CD 的长度改变量 距中性轴 z 为 y1 的点，弯曲正应力的绝对值为
σ ( y1 )
该处的横向应变为
My1 Iz
（ y1 以向上为正）
( y1 )
由此可得线段 CD 的伸长量为
My1
EI z
ΔCD ε dy1
0
h1
M
EI z
3
0
h1
y1dy1
2
Mh12
2 EI z

0.29 20 10 0.0793 m 5.49 106 m 0.00549mm 2 200109 1660108
题 6-3 图 解：由题图可见，胶带中性层的最小曲率半径为
ρmin R1
依据
σ
Ey ρ
1
可得胶带内的最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力分别为
σ t,max
Ey1 R1 Ey2 R1
σ c, max
6-6
图 a 所示正六边形截面，边长为 a，试计算抗弯截面系数 Wz 与 Wy。
题 6-6 图 解：1. Wz 计算 由图 b 可以看出，
Fy F2 F1 2 2 0
M A F1l F3 3 2 l 2h
说明单元体满足平衡条件。
F
F
h
F
3Fl h 0 3
6-13
图示矩形截面简支梁，承受矩为 Me=Fa 的集中力偶作用。截面的宽度为 b，高
度为 h。试绘单元体 ABCD 的应力分布图（注明应力大小） ，并说明该单元体是如何平衡的。
F2
F 2


F3
M (0) S z ( ) bh h 12 3Fl Fl 2 4 bh3 2h Iz
F4 bl 3F 3Fl bl 2bh 2h
3. 单元体的平衡 根据上述计算结果，得
7
Fx F3 F4
3Fl 3Fl 0 2h 2h
M z1 0，Fx 2 3 Fx1 3 Fy 2 a
h
h
Fa Fa Fa 0 3 6 6
由此可见，单元体的全部平衡方程均能满足（另三个平衡方程是恒等满足，无需写出） 。
6-14
梁截面如图所示，剪力 F s = 200kN，并位于 x-y 平面内。试计算腹板上的最大
弯曲切应力，以及腹板与翼缘（或盖板）交界处的弯曲切应力。
题 6-14 图 (a)解：截面形心至其顶边的距离为
yC
0.020 0.100 0.010 0.120 0.010 2 0.080 m 0.020 0.100 0.120 0.020 0.04818m
惯性矩和截面静矩分别为
9
Iz [
0.100 0.0203 0.010 0.1203 0.100 0.020 0.038182 2 12 12 2 4 6 4 2 0.010 0.120 0.03182 ]m 8.29210 m S z ,max 0.09182 0.020 0.09182 3 m 8.431105 m 3 2 S z 0.100 0.020 0.03818m 3 7.636105 m 3
3F 2bh 在该截面上，弯曲正应力线性分布，最大弯曲压应力则为 6 Fl c,max 2 bh 在纵截面 AC 上，作用有均匀分布的切应力，其值为
max
3F
2bh
在横截面 CD 上，作用有合力为 F1=F/2 的剪切分布力。 2. 单元体的受力分析 根据上述分析，画单元体的受力如图 c 所示。图中，F2 代表横截面 AB 上由切应力构成的 剪切力，F3 代表该截面上由弯曲正应力构成的轴向合力，F4 则代表纵截面 AC 上由切应力构 成的剪切合力。 显然，
4 11 3a 4 3a 4 5 3a 4 192 12 16
Wy
Iy z max

5 3a 4 1 5 3a 3 16 a 16
6-7
图示直径为 d 的圆木，现需从中切取一矩形截面梁。试问：
(1) 如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高，h 和 b 应分别为何值； (2) 如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高，h 和 b 又应分别为何值。
C ,max E C
由于应力与内力成正比，所以，梁内的最大弯曲正应力为
4
max
计算结果相同。
M max 9 E C 9qa 2 4 C ,max E C 67.5 MPa 2 MC 32 qa 8
6-9
图示简支梁，承受均布载荷 q 作用。已知抗弯截面系数为 Wz，弹性模量为 E，
(b)解：采用负面积法，得截面形心至其顶边得距离为 0.110 0.150 0.075 (0.110 0.020) 0.100 0.070 yC [ ]m 0.081m 0.110 0.150 (0.110 0.020) 0.100 惯性矩（采用负面积法）和截面静矩分别为
左、右端面上弯曲切应力构成的竖向合力大小相等，其值为
1 Fy1 Fy 2 F 6
纵截面上弯曲切应力构成的轴向合力为
FSx x (ab)
3．检查单元体的平衡方程是否满足
Fa 2h
Fx 0，Fx 2 Fx1 FSx
Fa Fa Fa 0 h 2 h 2h F F Fy 0，Fy1 Fy 2 6 6 0
I y ,t
中部矩形截面对 y 轴的的惯性矩为
hb3 bh b a 11 3a 4 36 2 3 2 192
2
2
I y ,r
于是得整个六边形截面对 y 轴的惯性矩为
2ha 3 3a 4 12 12
I y 4 I y ,t I y ,r
而对 z 轴的抗弯截面系数则为
4 3a 4 3a 4 5 3a 4 64 4 16
3
于是得整个六边形截面对 z 轴的惯性矩为
I z 4 I z ,t I z ,r
而对 z 轴的抗弯截面系数则为
Wz
2. Wy 计算 ADB 对 y 轴的惯性矩为
Iz 5 3a 4 2 5a 3 y max 16 a 3 8
于是得腹板上的最大弯曲切应力为
τ max
FS S z ,max I zδ

200103 8.431105 N 1.017108 Pa 101.7MPa 6 2 8.29210 0.020m