信用矩陣模型
• 不同於KMV模型僅以公司違約為唯一的信用 事件， 信用矩陣模型認為信用風險不單單只 是違約而已，應該也要將信用品質改變的影響 考慮進來，而違約只是信用品質改變的特例。 • 這樣的想法並非新創，然而信用矩陣模型是首 套將信用品質變化、違約、回收率及違約相關 性一起分析的信用計量模型。
• 進一步將殖利率減去無風險利率，即是信用價差。再 由信用價差估計違約機率。
9.1 莫頓（Merton）模型
• 選擇權評價模型應用在衡量信用風險的技術上始於
莫頓（Robert Merton）在1975年的文章。 • 假設公司資產價值VA服從幾何布朗運動：
dV
A
V A dt A V A dz
解答
2. KMV模型中的違約間距：
DD=($12,511-$10,000)/(9.6%x$12,511) =2.8
所以公司資產價值目前距離其違約點有2.8個標準差。
解答
3. 預期違約機率：
• 我們並沒有KMV公司的違約距資料庫，因此無法直接判 斷公司的違約機率。
• 僅能利用莫頓模型的常態分配性質，在風險中立的假設下 來估計公司的預期違約機率。 • 假設資產價值的分配是一常態分配，則以違約間距為2.8的 情況計算，則期望違約頻率（EDF）可查表求出約為
判斷公司違約機率 (EDF)
• 實務上使用KMV模型時，我們並沒有KMV公司
的違約距資料庫，因此無法採取上述方法判斷公 司的違約機率。
• 一般常用的方法則是在風險中立的假設下，利用
莫頓模型的性質來估計公司的預期違約機率:
PT=EDF=N(-d2)=N(-DD)
(9.8)
計算實例 9.2
• 假設有一上市公司千千股份有限公司，其股價的 市場總值為3,000萬元，而股價市場價值的波動 值為每年40%，一年內即將到期的短期負債總值 4,000萬元，長期負債總值12,000萬元，而無風險 利率5%。 • 試根據KMV模型計算公司一年的預期違約機率 。
Ronn-Verma估計法
• 莫頓模型有兩個未知變數：資產價值（VA） 和資產波動性（ ），但卻只有一個方程式：
A
V E V A N (d1 ) e
rT
DN ( d 2 )
• 因此他們就利用伊藤定理（Ito’s Lemma）對 上式加以微分，而得到第二個方程式：

E

V
A
VE
N ( d 1 )
• 到期時公司應償還的負債D為$99.46。 • 請估計• VA=100, σA=0.2, τ=1, D=99.46, r=0.1
d1 ln( V A / D ) ( r 0 . 5
2 A
)

A
A

0 . 627
d 2 d1
0 . 427
縮減式模型的特色
• 由於公司資本結構裡的資產價值不易取得，因此縮減 式模型即是將結構式模型加以簡化，去除資產價值變 數與權益變數，僅留下負債變數。因此縮減式模型形 式上就像一個債券評價模型。
• 縮減式模型除了債券價格變數外，還包含債券的到期 期間、票面利率、殖利率等，因此將已知的債券價格 、到期期間、票面利率資料代入模型中，即可反推債 券殖利率。
9.3 信用矩陣模型
• 1997年J. P. Morgan提出信用矩陣（CreditMetrics）模 型，並據以求算出信用風險值(Credit at Risk，簡稱 CaR或CVaR)。 • 信用矩陣是由J. P. Morgan公司主導，結合數家世界知 名的銀行如美國銀行（Bank of American）、瑞聯銀行 （Union Bank of Switzerland）、瑞士銀行（Swiss Bank Corporation）、 BZW、Deutsche Morgan Grenfell 、及KMV公司等金融機構與企業組織共同研究開發而 成。
9
本章大綱
• 莫頓（Merton）模型
• KMV模型 • 信用矩陣（CreditMetrics）模型 • KMV模型與信用矩陣模型的比較 • 信用矩陣模型與風險矩陣模型的關係
信用風險計量模型的特色
• 廣泛採用數理模型、統計分析和資訊技術的強 大運算能力。
• 特別注重投資組合的信用風險分析，都針對投 資組合的信用風險衡量提出獨特的處理方法， 尤其是資產間信用風險相關性的估計方法。
EDF= N(-DD)=N(-2.8)= 0.25％。
KMV與傳統方法的比較
選擇權評價模式運用在信用風險衡量上，具有
以下優點： • 應用的資料更新快速 • 較具有前瞻性(Forward Looking) • 任何估計模型都可以應用
• 實證研究支持模型的違約預測能力，且估計過程相 當客觀透明
KMV模型應用上的限制
A
Ronn-Verma 估計法
• 如此一來，兩個未知數搭配兩個方程式，
就可以求出隱含的資產市場價值與資產波 動性，解決兩個變數不可觀察的困難
9.2 KMV模型
• KMV模型是由KMV公司所發展，以莫頓模型 為核心，配合其信用風險資料庫，發展出一套 信用風險衡量模型，簡稱為KMV模型。 • KMV模型以股票市價、股價波動度與負債價 值，推估公司資產價值與違約間距，再依據公 司資料庫計算歷史違約機率，進而求出受評公 司預期違約機率。
和 A 為公司資產價值變動的飄移項與波動率。
莫頓（Merton）模型
• 公司權益可視為以公司資產為標的物之買 權。
• 公司的負債則可視為放空以公司資產為標 的物之賣權。
圖9.1 權益可被視為對公司資產為標的物的買權
權 益 價 值 (V E )
A O
D
A’
資 產 價 值 (V A ) E
權益的評價模型
2. 計算出公司的違約間距(DD)
3. 判斷公司違約機率 (EDF)
圖9.2 KMV違約機率分配模型
資產價值 資產價值的可能路徑
資產價值的 機率分配
DD 違約點 EDF 0 T 時間
1.估計公司資產價值與資產價值波動性
• KMV模型第一個步驟是估計公司資產價值與資產價 值波動性 • KMV模型以試誤法不斷重複以估計資產價值波動性 ，KMV公司宣稱經由這個程序估計的資產價值波動 性僅是參考值，KMV公司內部會採取特殊的方法再 進一步加以調整。但是KMV並未說明其方法。
解答
1.KMV模型設定的違約點，
DPT=短期負債+(1/2)長期負債=10,000(萬元)。 2. 接著必頇估計公司資產波動性，根據題目資訊，亦即解以下聯立方程 式，以算出隱含的資產價值(VA)與資產價值波動性(σA)：
3000 V A N ( d 1 ) 10 , 000 e
0 . 05
「違約點DPT」之間距離幾個資產價值的標準差
(σ )，數學式表達如下：
A
DD=(VA-DPT)/ (VAσA)
3.判斷公司違約機率 (EDF)
• KMV公司利用過去20年超過十萬家的美國公司作為 樣本，其中包括兩千筆以上的違約或破產案件，計算 各種違約距的違約機率，並稱此為「預期違約頻率」 ，亦即所估計的公司違約機率。 • 若歷史樣本中有5,000家違約距DD等於4的公司，其中 30家一年之後發生違約，則依簡單的帄均數概念，計 算出EDF＝30/5,000＝0.006＝0.6%。 • 因此有了違約間距，就可以用來判斷公司的預期違約 頻率，亦即KMV模型所估計的公司違約機率。
N (d 2 )
0 .4 (
VA 3 , 000
) N (d 1 )
A
其中，
d1
ln(
VA 10000
) ( 0 . 05 0 . 5 ( 0 . 4 ) )
2

A
A
d 2 d1
解上述聯立方程式，就可以求出隱含的資產價值(VA)與資產價值波 動性σ分別是12,511萬元與9.6%。
生違約的機率越低； • 違約間距越小的公司，則公司的資產價值接近違約點 ，公司發生違約的機率越高。
計算出公司的違約間距(DD)
• KMV模型設定的「違約點DPT」等於公司短期負
債加上二分之一的長期負債（兩者均以帳面價值 表示），不同於莫頓模型對於違約點的設定。
• 公司的「違約間距DD」則是指資產價值(VA)與
• 根據Black –Scholes選擇權評價模型，在時點t的權益 價值VE 可改寫成：
V E V A N (d1 ) e
r
D N (d 2 )
V E 為權益的市場價值
D 為負債在到期日時的帳面價值
r
為無風險利率
τ=T-t 是負債的到期期間
N (d1 )
與 N ( d 2 ) 為標準化常態分配的累積機率密度函
• 風險中立下的違約機率
N ( d 2 ) 0 . 3347 33 . 47 %
9.1.5 莫頓模型的變數估計
• 最重要的兩個變數：
– 公司資產價值 VA
– 資產價值之波動性
A
• A 無法直接觀察, 必頇經由權益價值加以推估
• 常見的三種估計公司資產價值與資產波動性的方法
1. Ronn和Verma(1986)所提出的估計方法 2. 中研院院士 J.C. Duan(段錦泉)所提出的資料轉換最大概 似估計法(MLE) 3. KMV的估計法
• 公司資產的市場與價格透明度的欠缺，使得資產 價值的波動性不易衡量。 • 公司違約的歷史資料庫不容易獲得或過少
• KMV模型並沒有考慮當公司面臨倒閉時，資產價 值可能會因急於脫手等因素而變少 。
• KMV模型較適用於市場資料充分的上市公司 • 不同債務到期期限或有不同，使得債務價值估計 上比較困難。
信用矩陣模型
• 應用風險矩陣的方法，把風險值運用在信用風險管理 方面，提出信用矩陣模型，以求算出信用風險值 (Credit at Risk) • 信用矩陣風險矩陣CVaR主要是在衡量在某一段時間 之內，一定信賴水準下信用風險所造成的最大損失。 • 信用矩陣的CVaR與VaR非常相似，簡言之，CVaR是 將VaR的「市場損失」改為「信用損失」 • CVaR評估的期間通常也會比VaR要來的長。