s2 s 2 2s3 0s2 3s 1
2s3 2s2 4s
2s2 7s 1 2s2 2s 4
9s 5 r(s)
n(s) (2s 2)d (s) (9s 5)
下面证唯一性。设除了商式q(s) 和余式 r(s)外，还有商式q1(s)和余式r1(s)，则
n(s) q(s)d(s) r(s) q1(s)d(s) r1(s)
dn
00
0
d0
d1
dm2 dm1 dn2 dn1 dn 0
0 0 0
d0
d1
d d nm
n m 1
S
n0
n1
n2
nm1
nm 0
0
.
. ...
0 n0 n1 nm2 nm1 nm .
0
.
.
.
.
. .. .
.
. ...
. . .
.
. .. .
.

.
.
【例6-4】 两个2×2的多项式矩阵如下：
s 1
s3
s 1
s3
A1(s) s2 3s 2 s2 5s 4 ; A2 (s) s2 3s 2 s2 5s 6
容易求出它们的行列式为
det A1(s) (s 1)(s2 5s 4) (s 3)(s2 3s 2) 2s 2 det A2 (s) (s 1)(s2 5s 6) (s 3)(s2 3s 2) 0
和
a(s) a0 a1s an1sn1,
b(s) b0 b1s bm1sm1,
dn 0 nm 0
(6 13a) (6 13b) (6 13c) (6 13d )
定义多项式 d(s) 和 n(s) 的 (n+m) 阶Sylvester矩阵 S 为
d0 d1 d2 dm1 dm dn1
随后，大量的学者投身于线性定常系统的多项式矩阵描述、传递函数矩阵的矩 阵分式描述方面的研究。
在频域中通过传递函数矩阵获得的与时域中状态空间法并行的有益结果： ❖传递函数矩阵的矩阵分式描述法（MFD—Matrix Fraction Description）； ❖系统的多项式矩阵描述法（PMD—Polynomial Matrix Description ） 。
最大公因式：如果 r(s) 是 d(s) 和 n(s) 的公因式，而且可被 d(s) 和 n(s) 的每个 公因式整除，则称 r(s) 是 d(s) 和 n(s) 的最大公因式。
注：若r(s) 最大公因式，c为常数，则cr(s)也是最大公因式，若限定r(s) 为首一多项式，则最大公因式具有唯一性。
互质多项式：如果 d(s) 和 n(s) 的最大公因式是(与 s 无关的)非零常数，则称 d(s) 和 n(s) 为互质多项式，简称 d(s) 和 n(s) 互质。
可化简有理函数：倘若g(s) = n(s)/d(s)中， n(s)和d(s)不互质。
6.2 多项式矩阵及其属性
1 多项式矩阵
多项式矩阵：以多项式为元素的矩阵。
以aij(s)为元素的m×n多项式矩阵A(s)记为
a11(s)
A(s)
am1(s)
a1n (s)
amn (s)
【例6-3】一个2×3的多项式矩阵
证明：
degr(s) deg(s ) 1, r(s)为常数r
lim n(s) lim[q(s)(s ) r] r
s
s
所以，余式为n(α)。证毕。
(6 4)
多项式的因式和互质性 （设d(s)，n(s)，r(s)为多项式） 因式：如果多项式n(s)可被多项式r(s)整除，则称r(s)为n(s)的一个因式。 公因式： r(s) 既是 d(s)的因式又是 n(s) 的因式，则r(s) 是d(s)和 n(s) 的公因式。 平凡公因式：非零常数。 注：非零常数总是每对d(s)和n(s)的公因式。 非平凡公因式：阶次大于或等于1的多项式。
如果上式 Sylvester 矩阵是非奇异的，则方程组有唯一的平凡解，相应 地(6-12) 有一个平凡解，即
a(s) = 0, b(s) = 0。 即定理(6-3)中条件(3)成立，d(s) 和 n(s) 互质。
由此归纳出下述定理。 定理6-4 多项式 d(s) 和 n(s) 互质的充要条件是它们的Sylvester矩阵非奇 异。
A(s)
s
2
s
1 3s
2
7s2 2s 1 4
5s3 2s2 s
6s 7
多项式矩阵的行列式：和实数矩阵一样，只有行数和列数相等的方多项 式矩阵才可取行列式，且具有相同的运算规则。
如：
s 1
A(s) s2 3s 2
按实数矩阵运算规则，即可求出
s3 s2 5s 4
det A(s) (s 1)(s2 5s 4) (s 3)(s2 3s 2) 2s 2
. .. .
0 0 0
0 0 . n0
n1
. ...
0
0
m
d
n
0
0
.
.
.
nm
n
将 (6-13) 代入 (6-12) 并令 s 相同幂次的系数分别为零，给出 (n + m) 元一次 线性齐次代数方程组
b0 b1 b2 bm1 a0 a1 a2 an1 S B AS 0 (6 15)
第六章
多项式矩阵理论 （数学基础部分）
引言（经典控制理论、现代控制理论、多项式矩阵理论的应用）
50年代以前，以控制理论和电路理论为两大支柱的线性系统理论已经发展成为相当成熟的 “经典线性系统理论”。
经典线性系统理论的主要特征： 研究对象 → 线性定常单变量系统； 数学工具 → 复变函数（特别是傅里叶变换和拉普拉斯变换）； 研究方法 → 频率响应法； 理论优点 → 输入、输出和反馈信号的物理概念清晰、易于测量； 理论缺点 → ⑴ 只能反映系统的外部特性和行为，是一种外部描述法； ⑵ 设计自由度小、指标模糊，需要反复试凑才能完成任务。
科学家：在频域中通过传递函数矩阵探求与时域中状态空间法并行的有益结果。
1963年，V.Belevitch： 将多项式矩阵的互质性与Kalman提出的可控性、可观测性联系起来。
1970年， H. Rosenbrock： 系统地研究了多项式矩阵表达式与状态空间表达式之间的关系； 并提出了解耦零点的概念。
多项式互质问题变为有无非平凡解问题。如果非平凡解存在，怎样求得 具有最小阶次的非平凡解。
行搜索法是求解非平凡解的有效方法[见“仝茂达” P.293-296]。
2 有理函数
有理函数：
两个多项式之比，即 g(s) = n(s)/d(s)。
既约有理函数： 倘若g(s) = n(s)/d(s)中， n(s)和d(s)互质。
定理6-3 设有两个多项式 d(s) 和 n(s) 的，d(s)≠0，当且仅当满足下面条 件之一，d(s) 和 n(s) 是互质多项式。
(1)
d (s) n(s)
1,
s C
(6 8)
或
d (s0 )
n(s0
)
1,
s0 : d (s0 ) 0, s0 C
(2) 存在两个多项式x(s)、y(s)使得
定理6-1 (欧几里德除法定理)设 d(s), n(s)∈R[s] 且d(s)≠0, 则存在唯一的
q(s), r(s)∈R[s]，使得
n(s) q(s) d(s) r(s)
deg r(s) deg d (s)
(6 2)
证明：情况1： deg n(s) ＜ deg d(s), 则 q(s)=0, r(s)=n(s)
证明：条件(1)的意义是：如果d(s) 和 n(s) 互质，则复域C中不存在任何s使
d(s) 和 n(s) 同时为0。 证明略
多项式互质的Sylvester 矩阵判据
Sylvester 矩阵：
设
d (s) d0 d1s d2s2 dnsn ,
n(s) n0 n1s n2s2 nmsm ,
(6 9)
x(s)d(s) y(s)n(s) 1 (3) 不存在多项式a(s)、b(s)使得
(6 10)
n(s) b(s) d(s) a(s) 或等价为
(6 11)
b(s)d (s) a(s)n(s) b(s)
a(s)
d (s) n( s)
0
(6 12)
且
deg a(s) deg d (s)
50年代以后，宇航事业、过程控制和计量经济学等的发展，被研究对象从简单的单变量系 统发展成规模庞大、结构复杂的多边量系统，人们为了建立精确的模型还要考虑到系统具有的 非线性和时变特性。Bellman 和 Kalman 等学者借助于状态概念建立了“现代控制理论”。
现代控制理论的主要特征： 研究对象 → 复杂的多变量系统； 数学工具 → 线性代数； 研究方法 → 状态空间法； 理论优点 → 揭示系统的内部、外部特性和行为，设计自由度大、目标明确； 理论缺点 → ⑴ 建立复杂系统的状态空间表达式（动态方程）非常困难； ⑵ 状态变量的物理概念比较隐晦、且并不总具备可测量特性。
A1(s) adjA(s) 多项式矩阵 /多项式 有理分式矩阵 det A(s)
4 线性相关和线性无关
给定元属于有理分式域R(s)的m个n维列或行多项式向量
{q1(s), q2(s), … qm(s)} 其中， m ≤ n。
(6-16)
线式性 成定立相：义关，6-6当[线且性仅相当关存和在线一性组无不关全]为称零多的项多式项向式量{α组1({sq),1(αs2)(,s)q,2…(s),,α…m(,sq)}m使(s)下}为
或
[q(s) q1(s)]d(s) r1(s) r(s)
(6 3)
如果q(s) - q1(s) ≠ 0，则(6-3)式左边阶次大于或等于deg d(s)，而(6-3)式右 边阶次应小于deg d(s)，产生矛盾。所以