n).
（2）近似代替：（以直代曲）
在每个小区间[ xi 1 , xi ]上任取一点i Si f (i )xi
（3）求和：面积的近似值为
n n
y
S si f (i )xi
i 1 i 1
（4）取极限，精确化：
o a
x1
xi 1 ix i
xn1 b
x
S lim f (i )x
1.5.3
定积分的概念
陈达刚
一、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
曲边梯形由连续曲线
y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、
x 轴与两条直线 x a 、 x b 所围成.
y
y f ( x)
如图
A?
o
a b
x
如图：曲边梯形
y
(1) 分割 在区间[a, b] 任意插 n 个分点，
2
的曲边梯形的面积，用定积分表示为 2.

3 1
( x 2 1) dx

2
2
sin 3tdt 中，积分上限是 2
[-2,2] 0
2
-2 积分下限是______
积分区间是 3.定积分

2
( x 2 1)dx
4. y f ( x) 在
A.与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关 C.与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数的形式无关
x 0 i 1
n
从上面例子看出，求曲边梯形的面积，它们都归结
为对问题的某些量进行“分割、近似代替、求和、取极
限”，或者说都归结为形如
n f (i )x i 1
的
和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来， 作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我 们可以给定积分的定义。
注 意
3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有

4．规定：
b
a
f ( x)dx f (t )dt f (u)du
a a
b
b

b
a
f ( x)dx f ( x)dx
b
a

a
a
f ( x)dx 0
检测：
及x轴所围成 x 1 , x 3 与直线 1. 由曲线 y x 1
x 0 即 f ( x )dx _________________ . i 1
b
lim f (i )x
被积函数
a
2、定 积 分 的 值 只 与 ______ 及 _______ 有 关 ， 而 与 积分变量 的记法无关 . _________ 围成的各个部分面积的代数和 . 3、定积分的几何意义是_______________________ b 4、区间 a , b 长度的定积分表示是_____________ . 0dx
a, b上连续，则定积分 a
b
f ( x)dx 的值 A
三.你能说说定积分的几何意义吗？
y
y f ( x)
A
o xa
y
f ( x ) 0,
a f ( x )dx A
b
xb
x
x
曲边梯形的面积
o
xa
xb
f ( x ) 0,
A
y f ( x)
a f ( x )dx A
积分区间

a
.
作业 ：P50 A组 5（1）（2）
o a
x1
x i 1 x i
xn1
b
x
a x0 x1 x2 xi 1 xi xn b,
把 [a, b] 分成 n 个小区间：
x i 1 , x i
(i 1,2,n).
每 个小区间的长度 xi xi xi 1 = b-a (i 1, 2, n
ba f (i )x f (i ), n i 1 i 1
当n 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数 b 叫做函数f(x)在区间a,b 上的定积分，记作 f ( x)dx,即
a
积分上限
a f ( x )dx I
积分下限
b
ba lim f (i )dx n i 1 n
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
[a , b] 积分区间
注 意
1. f ( x)dx是一个和式的极限
a b
是一个确定的常数
2 当
f ( )x 的极限存在时，其极限值仅与被积函数 f(x) 及积分区间 [a,b] 有关，而与区间 a, b 的分法及
i 1 i
n
i
点的取法无关。
b
曲边梯形的面积的负值
探究：教材46页
小
结
定积分的实质：特殊和式的极限． 定积分的思想和方法：
分割 求和 取极限 化整为零
求近似以直（不变积分的几何意义：
练 习 题
一、 填空题： 1、函数 f ( x ) 在 a , b 上的定积分是积分和的极限， n
二、定积分的定义
定义 如果函数f ( x)在区间a, b上连续，用分点
a x 0 x1 x 2 x n 1 x n b 将区间 a, b 等分成n个小区间，在每个小区间 xi 1 , xi
, n), 做和式
n
上任取一点i (i 1, 2,
n