常系数线性微分方程的解法
dnx
d n1 x
dx
dt n a1(t ) dt n1 L an1(t ) dt an (t )x u(t )
和
dnx
d n1 x
dx
dt n a1(t ) dt n1 L an1(t ) dt an (t )x v(t )
的解.
如果n阶线性微分方程
dnx
d n1 x
dx
dt n a1(t ) dt n1 ... an1(t ) dt an (t )x f (t )
关于复值解有如下结论 :
dnx
d n1 x
dx
dt n a1(t ) dt n1 L an1(t ) dt an (t )x 0
(4.2)
定理4.2.1 如果方程(4.2)中所有系数ai (t)都是实值
函数,而x z(t) (t) i (t)是方程的复值解,则z(t) 的实部 (t),虚部 (t)和其共轭复数z (t )也都是方程
则
e1t,e2t , ..., eit ,
e1t cos 1t,e1t sin 1t,...,eit cos it,eit sin it
为L[x] 0的一个实值基本解组。
II: 特征根有重根的情形
结果2:如果L[ x] 0的特征方程F n a1 n1 ... an 0 有m个互异的实根1,2,...,m , (1,2,...,m中可能有
实变量的复值函数的极限, 连续性, 可导性与实 变量的实值函数相应概念一致.
设K i是任一复数,定义
eKt et (cos t i sin t )
则有
cos t 1 (ei t ei t ), sin t 1 (ei t ei t )
2
2i
另外,还有如下重要性质:
(1) e( K1 K2 )t e K1t ge K2t ,
中的系数a1(t)(t 1, 2, ..., n)都是常数,则称它们为n阶常系数 线性微分方程,即
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1 ... an1
dx dt an x
f (t),
(1)
其中ai (i 1, 2,..., n)都是常数。特别地,如果方程中的非齐次 项f ( x) 0,则称它为n阶常系数齐线性微分方程。如果令
一些是复数),重次分别为k1,k2,...,km (k1+k2+...+km n), 则
e1t,te1t , ..., t k1 1e1t , e2t,te2t , ..., t k2 1e2t ,
.................. emt,temt , ..., t km 1emt ,
为L[x] 0的一个基本解组。
为代数方程
F n a1 n1 ... an 0
的根。
定义1:
称多项式F n a1 n1 ... an为L[ x] 0的特征多项式; 称方程F n a1 n1 ... an 0为L[ x] 0的特征方程; 称方程F n a1 n1 ... an 0的根为L[ x] 0的特征根。
L[ x]
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
...
an1
dx dt
an x,
则方程(1)可简记为L[x] f ( x),而它所对应的齐线性方程可
记为L[x] 0。
一、常系数齐线性微分方程的 解法
I: 特征根是单根的情形 II: 特征根有重根的情形
定理1:函数x eit为方程L[x] 0的解当且仅当=0
练习题答案
1.y
C1
C2 x
.
2.y
C1 x
C2 x2
1 2
(ln2
x
ln
x)
1 4
.
3.y
C1
x2
C2
x2
ln
x
x
1 6
x2
ln3
x.
作业 : P164 2(3),(5),(7);3(2),(4);4(2)
dt 上述结果可以写为
xy Dy,
x2 y d 2 y dy (D2 D) y D(D 1) y, dt 2 dt
x3 y d 3 y 3 d 2 y 2 dy dt 3 dt 2 dt
(D3 3D2 2D) y D(D 1)(D 2) y,
一般地, xk y(k) D(D 1) (D k 1) y.
为L[x] 0的一个实值基本解组。
一、欧拉方程
形如
xn y(n) p1 xn1 y(n1) L pn1 xy pn y f ( x) (4.29)
的方程(其中 p1 , p2 pn为常数) 叫欧拉方程.
特点:各项未知函数导数的阶数与乘积因子自 变量的方次数相同.
解法:欧拉方程是特殊的变系数方程,通过变 量代换可化为常系数微分方程.
例2:求方程
d4x dt 4
2
d2x dt 2
x
0的一个基本解组。
问题:如何求实系数方程的实值基本解组?
结果2':如果L[ x]
0的特征方程F
n
a1 n1
...
an
0
1 2
有r个互异的实根1,2,...,r ,重次分别为k1,k2,...,kr
及2l(k1+2l n)个互异复根
i1 1 i1 , i1 1 i1 , ..., il l il , il l il
§4.2 常系数线性微分方程的解法
一、复值函数与复值解 二、常系数齐线性微分方程的解法 三、常系数非齐线性微分方程的解法
一. 复值函数与复值解
定义 : 如果对于区间a t b中的每一个实数t,有复
数z(t)=(t)+i (t)与它对应,则称z(t)是定义在实值
区间[a, b]上的一个复值函数.
(2) de Kt KeKt , dt
(3)
dn dt n
(e Kt
)
K ne Kt
.
复值解 : 如果实变量复值函数z(t)满足方程
dnx dt n
a1
(
t
)
d n1 x dt n1
L
an1
(t
)
dx dt
an(t)x
f (t)
则称实变量复值函数z(t )为方程(4.1)的复值解.
(4.1)ຫໍສະໝຸດ 将上式代入欧拉方程,则化为以 t 为自变量
的常系数 线性微分方程.
dny
d n1 y
dy
dt b1 dt n1 L bn1 dt bn y 0
(4.30)
如果(4.30)有形如y et的解,则方程(4.29)有形如 y xK的解,因此可以直接求欧拉方程形如y xK 的解.以y xK代入(4.29)并约去因子xK ,就得到确 定K的代数方程
K (K 1)L (K n 1) a1K (K 1)L (K n 2) L an 0
例 求欧拉方程
x3 y x2 y 4xy 0 的通解.
解 作变量变换 x et 或 t ln x, 原方程的特征方程为
k 3 2k 2 3k 0,
特征方程的根为 k1 0, k2 1, k3 3.
(4.2)的解.
定理4.2.2 设方程
dnx
d n1 x
dx
dt n a1(t ) dt n1 L an1(t ) dt an(t)x u(t ) iv(t )
有复值解x U(t) iV (t),这里ai (t), u(t),v(t)都是实 函数,那么这解的实部U(t)和虚部V (t)分别是方程
所以所求方程的通解为
Y C1 C2et C3e3t
C1
C2 x
C3 x3 .
欧拉方程解法思路
变系数的线性 变量代换
常系数的线性微
微分方程
x et 或 t ln x
分方程
注意:欧拉方程的形式.
练习题
求下列欧拉方程的通解: 1.x2 y xy y 0; 2.x2 y 2xy 2 y ln2 x 2 ln x; 3.x2 y 3xy 4 y x x2 ln x.
e1t cos 1t,te1t cos 1t,...,t kr e 1 it cos 1t, e1t sin 1t, te1t sin 1t,...,t kr e 1 it sin 1t,
...................................,
e1t cos i t, te1t cos it,...,t kr e 1 it cos it, e1t sin i t, te1t in it,...,t kr e 1 it sin it,
重次分别为s1, s2 , ..., sr .显然
k1 k2 ... kr 2(s1 s2 ... sr ) n,则
e1t,te1t , ..., t k1 t e1t , e2t,te2t , ..., t k2 t e2t , .................. ert,tert , ..., t kr t ert ,
作变量变换 x et 或 t ln x,
将自变量换为 t,
dy dy dt 1 dy , dx dt dx x dt
d2y dx2
1 x2
d2y
dt 2
dy , dt
d3y dx 3
1 x3
d3y dt 3
d2y 3
dt 2
2 dy , dt
用 D 表示对自变量 t 求导的运算 d ,
例1:求方程
d3 dt
x
3
d2x dt 2
2x
0的一个基本解组。
问题:如何求实系数方程的实值基本解组?
结果1':如果L[ x] 0的特征方程F n a1 n1 ... an 0 有k个互异的实根1,2,...,k , 及2l(k 2l n)个复根